第66页

信息发布者：
D
11
$40°$
解：
∵​$AB=AC，$​
∴​$∠ ABC=∠ ACB=\frac {180°-∠ A}{2}=\frac {180°-40°}{2}=70°.$​
∵​$MN $​垂直平分​$AB，$​
∴​$DA=DB.$​
∴​$∠ A=∠ ABD=40°.$​
∴​$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$​
解：​$ (1) $​如图，直线​$l$​和点​$E，F，G$​即为所求作。
​$ (2) $​证明：设​$BE$​与​$AM$​交于点​$D$​。
∵​$EF $​是​$BC$​的垂直平分线，
∴​$EB=EC$​，​$∠ GFM=90°.$​
∴​$∠ EBC=∠ C.$​
∵​$∠ AGE=∠ C，$​
∴​$∠ EBC=∠ AGE.$​
∵​$∠ GMF=∠ BMD，$​
∴易得​$∠ BDM=∠ GFM=90°.$​
∴​$AG⊥ BE.$​
∴​$∠ BDA=∠ EDA=90°.$​
∵​$AM $​平分​$∠ BAC，$​
∴​$∠ BAD=∠ EAD.$​
∵​$AD=AD，$​
∴​$△ ABD≌△ AED.$​
∴​$BD=ED.$​
∴​$AG $​垂直平分​$BE$​

A
【分析】首先明确轴对称图形的定义：若一个图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，该图形即为轴对称图形，这条直线是对称轴。接下来逐一分析各选项图案，判断是否存在符合要求的对称轴。
【解析】
选项A：无论沿水平、竖直或其他直线对折，直线两侧的黑白棋子都无法完全重合，不是轴对称图形；
选项B：不存在能使对折后两侧图案重合的直线，不是轴对称图形；
选项C：同样找不到满足条件的对称轴，不是轴对称图形；
选项D：沿图案中间的竖直直线对折，直线左右两侧的黑白棋子可完全重合，符合轴对称图形的定义，是轴对称图形。
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【点评】本题考查轴对称图形的概念，需准确判断图形对折后的重合情况，属于基础图形识别类题目。
【难度系数】0.6
【分析】
要计算△DBE的周长，需利用“点A与点E关于直线CD对称”的轴对称性质，得到对应边相等（AD=DE、AC=CE），再将△DBE的周长转化为已知线段的和，结合题目给出的边长计算结果。
【解析】
∵点A与点E关于直线CD对称，
∴CD是线段AE的垂直平分线，根据轴对称性质可得：AD=DE，AC=CE。
已知AC=9，因此CE=9；又BC=13，
∴BE=BC - CE=13 - 9=4。
△DBE的周长=DB + BE + DE，
由于DE=AD，代入得：周长=DB + AD + BE=AB + BE。
已知AB=7，
∴△DBE的周长=7 + 4=11。
【答案】
11
【知识点】
轴对称性质，三角形周长计算，线段和差
【点评】
本题核心是利用轴对称的对应边相等转化线段，将未知周长转化为已知线段的和，解题思路清晰，属于基础几何题，考查学生对轴对称性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】本题可先利用垂直平分线的性质得到边相等，结合已知条件推出新的等腰三角形，再设未知角，通过三角形内角和定理建立方程求解。
【解析】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又
∵AE=BC，
∴BE=BC，即△BEC为等腰三角形，故∠BEC=∠BCE。
设∠A=x，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠ABC - ∠ABE=60° - x，
在△ABE中，∠AEB=180° - ∠A - ∠ABE=180° - 2x，
∴∠BEC=180° - ∠AEB=180° - (180° - 2x)=2x，
在△BEC中，由三角形内角和为180°得：
∠EBC + ∠BEC + ∠BCE=180°，
即(60° - x) + 2x + 2x=180°，
整理得：60° + 3x=180°，
解得x=40°，即∠A=40°。
【答案】40°
【知识点】垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题通过设未知角，利用几何图形的性质建立等量关系求解，是几何角度计算的常用方法，关键是找到边相等对应的角相等，进而建立方程。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先，由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；其次，根据AB的垂直平分线MN的性质，得到DA=DB，推出△ABD为等腰三角形，进而得到∠ABD=∠A；最后用∠ABC减去∠ABD，即可算出∠DBC的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，可得：
∠ABC = ∠ACB = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
又
∵ MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），点D在MN上，
∴ DA=DB，因此△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠A=40°。
∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 70° - 40° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查等腰三角形与线段垂直平分线的性质，解题核心是利用垂直平分线得到相等线段，转化为相等角，再结合等腰三角形性质计算角度，属于几何基础题，侧重对性质的应用能力考查。
【难度系数】
0.5
【分析】
本题包含两小问，第(1)问是尺规作BC的垂直平分线，需掌握尺规作线段垂直平分线的方法；第(2)问是几何证明，需结合垂直平分线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定定理推导结论。作垂直平分线时，以B、C为圆心，大于BC一半的长度为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线l，再确定对应交点；证明时先由垂直平分线得边和角的关系，结合已知角相等推出垂直，再用角平分线和公共边证全等，得到线段相等，从而证明AG垂直平分BE。
【解析】
(1) 尺规作图：分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线l，直线l即为BC的垂直平分线，直线l与AC交于E，与AM交于G，与BC交于F，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：设BE与AM交于点D。
∵ l是BC的垂直平分线，
∴ $EB=EC$，$∠ GFM=90°$，
∴ $∠ EBC=∠ C$。
又
∵ $∠ AGE=∠ C$，
∴ $∠ EBC=∠ AGE$。
∵ $∠ GMF=∠ BMD$（对顶角相等），
∴ 在$△ GMF$和$△ BMD$中，$∠ EBC=∠ AGE$，$∠ GMF=∠ BMD$，
∴ $∠ BDM=∠ GFM=90°$，即$AG⊥ BE$，
∴ $∠ BDA=∠ EDA=90°$。
∵ AM平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ EAD$。
又
∵ $AD=AD$，
∴ $△ ABD≌△ AED$（ASA），
∴ $BD=ED$。
∵ $AG⊥ BE$且$BD=ED$，
∴ AG垂直平分BE。
【答案】
(1) 如图，直线l和点E,F,G即为所求作
(2) AG垂直平分BE，证明成立。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查尺规作图与几何证明，需熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质及全等三角形判定，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，分两步思考：第一步，根据平面直角坐标系中点的坐标定义，确定点P的坐标（横坐标是点到y轴的水平距离，右正左负；纵坐标是点到x轴的垂直距离，上正下负）；第二步，利用关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），计算出对称点的坐标，再匹配选项得出答案。
【解析】
1. 确定点P的坐标：观察图形可知，点P的横坐标为1，纵坐标为2，因此点P的坐标为(1,2)；
2. 计算关于x轴对称的点的坐标：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，点P(1,2)关于x轴对称的点的横坐标为1，纵坐标为-2，即该点坐标为(1,-2)；
3. 对比选项，选项A为(1,-2)，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标、关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，考查点的坐标确定和关于x轴对称的点的坐标规律，知识点单一，难度较低，是初中数学的常考基础题，适合巩固坐标相关基础知识。
【难度系数】
0.7
【分析】
1. 第(1)问：利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的坐标特征，先确定△ABC各顶点坐标，再写出对应对称点坐标，即可画出图形并得到C₁的坐标。
2. 第(2)问：采用割补法，将△A₁B₁C₁置于矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，计算目标三角形面积。
3. 第(3)问：设P在y轴上的坐标为(0,m)，先求线段CC₁的长度，再确定P到直线CC₁的距离，利用三角形面积公式列方程求解，得到P的坐标。
【解析】
(1) 由图得△ABC各顶点坐标：A(-2,4)，B(-4,2)，C(-3,1)。根据关于y轴对称的点的坐标特征，得A₁(2,4)，B₁(4,2)，C₁(3,1)，据此画出△A₁B₁C₁，点C₁的坐标为(3,1)。
(2) 用割补法计算面积：构造长为3、宽为2的矩形，面积为$2×3=6$；周围三个直角三角形面积分别为$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，$\frac{1}{2}×2×2=2$。因此$S_{△A₁B₁C₁}=6 - 1.5 - 0.5 - 2=2$。
(3) 设P(0,m)，由C(-3,1)、C₁(3,1)得CC₁长度为$3 - (-3)=6$，直线CC₁为y=1，P到CC₁的距离为$|m - 1|$。根据△PCC₁面积为12，列方程：$\frac{1}{2}×6×|m - 1|=12$，化简得$|m - 1|=4$，解得$m=5$或$m=-3$，故P的坐标为(0,5)或(0,-3)。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(3,1)；
(2) $S_{△A₁B₁C₁}=2$；
(3) 点P的坐标为(0,5)或(0,-3)
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标，三角形面积计算，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算及坐标性质，解题关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征、割补法求面积，以及利用坐标求线段长度和点到直线的距离，是初中平面几何的基础题型。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页