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解：
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求作，点$C_1$的坐标为$(3,1)$
(2) $S_{△ A_1B_1C_1}=2×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×2×2=2$
(3) 设$P(0,m)，$则$\frac{1}{2}×6×|m-1|=12，$解得$m=5$或$-3。$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(0,5)$或$(0,-3)$

证明：
​$ (1) $​∵​$AD// BE，$​
∴​$∠ ADB=∠ DBC.$​
∵​$BD $​平分​$∠ ABC，$​
∴​$∠ ABD=∠ DBC.$​
∴​$∠ ABD=∠ ADB.$​
∴​$AB=AD$​
​$ (2) $​∵​$AD// BE，$​
∴​$∠ ADC=∠ DCE.$​
​$ $​由​$ (1)$​知​$AB=AD$​，
又∵​$AB=AC，$​
∴​$AC=AD.$​
∴​$∠ ACD=∠ ADC.$​
∴​$∠ ACD=∠ DCE.$​
∴​$CD $​平分​$∠ ACE$​
解：
∵​$AC⊥ BC，∠ B=40°，$​
∴​$∠ A=90°-∠ B=50°.$​
∵​$DE⊥ AB，$​
∴​$∠ AED=90°-∠ A=90°-50°=40°.$​
∵​$∠ AED=∠ F+∠ EDF=40°，EF=DE，$​
∴​$∠ F=∠ EDF.$​
∴​$2∠ F=40°.$​
∴​$∠ F=20°$​
证明：
​$ (1) $​∵​$AB=AC，AD⊥ BC，∠ BAC=120°，$​
∴​$∠ BAD=∠ DAC=\frac {1}{2}∠ BAC=\frac {1}{2}×120°=60°.$​
∵​$AD=AB，$​
∴​$△ ABD $​是等边三角形
​$ (2) $​∵​$△ ABD $​是等边三角形，
∴​$∠ ABD=∠ ADB=60°，BD=AD.$​
∵​$∠ EDF=60°，$​
∴​$∠ ADB=∠ EDF.$​
∴​$∠ ADB-∠ ADE=∠ EDF-∠ ADE$​，
即​$∠ BDE=∠ ADF.$​
​$ $​在​$△ BDE$​和​$△ ADF$​中，
​$ \begin {cases} ∠ DBE=∠ DAF，\\BD=AD，\\∠ BDE=∠ ADF， \end {cases}$​
∴​$△ BDE≌△ ADF.$​
∴​$BE=AF$​
【分析】
1. 第(1)问：利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的坐标特征，先确定△ABC各顶点坐标，再写出对应对称点坐标，即可画出图形并得到C₁的坐标。
2. 第(2)问：采用割补法，将△A₁B₁C₁置于矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，计算目标三角形面积。
3. 第(3)问：设P在y轴上的坐标为(0,m)，先求线段CC₁的长度，再确定P到直线CC₁的距离，利用三角形面积公式列方程求解，得到P的坐标。
【解析】
(1) 由图得△ABC各顶点坐标：A(-2,4)，B(-4,2)，C(-3,1)。根据关于y轴对称的点的坐标特征，得A₁(2,4)，B₁(4,2)，C₁(3,1)，据此画出△A₁B₁C₁，点C₁的坐标为(3,1)。
(2) 用割补法计算面积：构造长为3、宽为2的矩形，面积为$2×3=6$；周围三个直角三角形面积分别为$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，$\frac{1}{2}×2×2=2$。因此$S_{△A₁B₁C₁}=6 - 1.5 - 0.5 - 2=2$。
(3) 设P(0,m)，由C(-3,1)、C₁(3,1)得CC₁长度为$3 - (-3)=6$，直线CC₁为y=1，P到CC₁的距离为$|m - 1|$。根据△PCC₁面积为12，列方程：$\frac{1}{2}×6×|m - 1|=12$，化简得$|m - 1|=4$，解得$m=5$或$m=-3$，故P的坐标为(0,5)或(0,-3)。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(3,1)；
(2) $S_{△A₁B₁C₁}=2$；
(3) 点P的坐标为(0,5)或(0,-3)
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标，三角形面积计算，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算及坐标性质，解题关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征、割补法求面积，以及利用坐标求线段长度和点到直线的距离，是初中平面几何的基础题型。
【难度系数】
0.5
【分析】
要证明(1)AB=AD，需结合平行线的性质和角平分线的定义推导角相等，进而利用等腰三角形的判定定理得到结论；证明(2)CD平分∠ACE，需借助(1)的结论，通过等量代换得到边相等，再结合平行线的性质推导角相等，从而完成角平分线的证明。
【解析】
(1) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADB=∠DBC。
又因为BD平分∠GBE（即∠ABC），根据角平分线的定义，∠ABD=∠DBC。
所以∠ABD=∠ADB，根据“等角对等边”，因此AB=AD。
(2) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADC=∠DCE。
由(1)知AB=AD，又已知AB=AC，通过等量代换得AC=AD，根据“等边对等角”，所以∠ACD=∠ADC。
因此∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE。
【答案】
(1) AB=AD，证明成立；(2) CD平分∠ACE，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题为几何基础证明题，核心考查“平行线+角平分线”构造等腰三角形的模型，需熟练运用平行线、角平分线及等腰三角形的相关性质，是初中几何的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据DE⊥AB，结合直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数；最后利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，将∠AED转化为与∠F相关的式子，进而求出∠F的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，
∵$AC⊥BC$，
∴$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠A=90°−∠B=90°−40°=50°$。
2.
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ADE=90°$，在$Rt△ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，得$∠AED=90°−∠A=90°−50°=40°$。
3.
∵$EF=DE$，
∴$△DEF$是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角，得$∠F=∠EDF$。
4. 又
∵$∠AED$是$△DEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得$∠AED=∠F+∠EDF=2∠F$。
5. 代入$∠AED=40°$，得$2∠F=40°$，解得$∠F=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何角度计算题，主要考查直角三角形、等腰三角形的角度性质，结合三角形外角性质即可求解，思路清晰，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6
【分析】
要证明△ABD是等边三角形，已知AB=AD，结合AB=AC且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出∠BAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证；要证明BE=AF，需证明△BDE与△ADF全等，由等边三角形性质可得BD=AD、∠ABD=∠ADB=60°，结合∠EDF=60°可推导出∠BDE=∠ADF，再结合∠DBE=∠DAF=60°，利用ASA判定全等，进而得到BE=AF。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ 根据等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
又
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°，BD=AD，
∵ ∠EDF=60°，
∴ ∠ADB = ∠EDF，
∴ ∠ADB - ∠ADE = ∠EDF - ∠ADE，即∠BDE = ∠ADF，
又
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ ∠DAF = ∠BAD = 60°，即∠DBE = ∠DAF = 60°，
在△BDE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $
∴ △BDE ≌ △ADF（ASA），
∴ BE=AF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) △ABD是等边三角形；(2) BE=AF，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形性质、等边三角形判定、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定，解题关键是利用等腰三角形性质推导角度，通过角度等量关系证明三角形全等，属于几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
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