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B
B
32°,116°
或74°,74°
1.6
8
证明：
​$ (1) $​如图，连接​$AE$​。
∵​$EF $​垂直平分​$AB，$​
∴​$AE=BE.$​
∵​$BE=AC，$​
∴​$AE=AC.$​
∵​$D $​是​$EC$​的中点，
∴​$AD⊥ BC$​
​$ (2) $​设​$∠ B=x°.$​
∵​$AE=BE，$​
∴​$∠ BAE=∠ B=x°.$​
∴​$∠ AEC=2x°.$​
∵​$AE=AC，$​
∴​$∠ C=∠ AEC=2x°.$​
​$ $​在​$△ ABC$​中，​$x°+2x°+75°=180°，$​
∴​$x=35.$​∴​$∠ B=35°$​


​$(1)$​证明： 如图①，连接​$AD$​。
∵​$AB=AC，∠ BAC=90°，D $​为​$BC$​的中点，
∴​$AD⊥ BC，∠ B=∠ C=45°，∠ BAD=∠ DAC=45°.$​
∴​$∠ BDA=90°，∠ B=∠ BAD=∠ DAC.$​
∴​$BD=AD.$​
又∵​$BE=AF，$​
∴​$△ BDE≌△ ADF.$​
∴​$ED=FD，∠ BDE=∠ ADF.$​
∴​$∠ EDF=∠ EDA+∠ ADF=∠ EDA+∠ BDE=∠ BDA=90°.$​
∴​$△ DEF $​为等腰直角三角形
​$ (2) $​解：​$△ DEF $​仍为等腰直角三角形，理由如下：
如图②，连接​$AD$​。
∵​$AB=AC，∠ BAC=90°，D $​为​$BC$​的中点，
∴​$AD⊥ BC，∠ DAC=∠ BAD=∠ ABD=45°.$​
∴​$∠ BDA=90°，AD=BD，∠ DAF=∠ DBE=135°.$​
又∵​$AF=BE，$​
∴​$△ DAF≌△ DBE.$​
∴​$FD=ED，∠ ADF=∠ BDE.$​
∴​$∠ EDF=∠ BDE+∠ FDB=∠ ADF+∠ FDB=∠ BDA=90°.$​
∴​$△ DEF $​是等腰直角三角形
【分析】首先，由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC；已知∠CAD=20°，可求出∠BAC的度数；再利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，算出∠ABC的度数；最后根据BE是角平分线，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
1. 因为AB=AC，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°。
2. 在△ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=(180°−∠BAC)÷2=(180°−40°)÷2=70°。
3. 因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABE=∠ABC÷2=70°÷2=35°。
【答案】B
【知识点】等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和
【点评】本题考查等腰三角形的性质与角平分线的计算，属于基础题型，需熟练掌握等腰三角形三线合一及内角和定理，难度不大。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决本题，需分两步进行：第一步，利用平面直角坐标系中点的平移规律，计算平移后点的坐标；第二步，利用关于x轴对称的点的坐标特征，求出最终点的坐标，再对应选项选出答案。
【解析】
1. 求平移后点$P_1$的坐标：根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移$n$个单位时，横坐标加$n$，纵坐标不变。已知点$P(1,-1)$向右平移2个单位，因此横坐标变为$1+2=3$，纵坐标仍为$-1$，即$P_1$的坐标为$(3,-1)$。
2. 求关于$x$轴对称的点的坐标：关于$x$轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点$P_1(3,-1)$关于$x$轴对称的点，横坐标为$3$，纵坐标为$-(-1)=1$，即该点坐标为$(3,1)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系中点的平移；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的平移与对称的基础知识点，属于常规基础题，只要掌握对应坐标变化规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
【分析】
已知等腰三角形的一个内角为32°，需分两种情况讨论：该内角为顶角或底角。根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，分别计算另外两个内角的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况：
① 若32°的角为等腰三角形的顶角，则两个底角相等，每个底角的度数为：(180° - 32°)÷2 = 74°，故另外两个内角为74°、74°；
② 若32°的角为等腰三角形的底角，则另一个底角也为32°，顶角的度数为：180° - 32°×2 = 116°，故另外两个内角为32°、116°。
综上，它的另外两个内角的度数分别为32°,116° 或 74°,74°。
【答案】
32°,116° 或 74°,74°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的性质及分类讨论思想，关键在于明确已知内角可能是顶角或底角，需分情况计算，避免遗漏解的情况，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，首先明确梯子长度不变，即CM与CN长度相等；再利用平角的性质计算出∠MCN的度数；最后根据等边三角形的判定定理，判断△MCN为等边三角形，从而得出MN的长度。
【解析】
解：由题意可知，梯子底端不动，长度不变，因此CM=CN=1.6m。
因为∠ACB是平角，所以∠ACB=180°，则：
∠MCN = 180° - ∠ACM - ∠BCN = 180° - 75° - 45° = 60°。
在△MCN中，CM=CN，且夹角∠MCN=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可知△MCN是等边三角形。
因此，MN=CM=1.6m。
【答案】
1.6
【知识点】
等边三角形的判定与性质、角度计算
【点评】
本题结合生活实际的梯子问题，考查等边三角形的判定，核心是求出∠MCN的度数，利用几何性质快速推导结论，难度适中，需掌握平角、等腰三角形及等边三角形的相关知识。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，首先根据△ABC中∠B=∠C的条件，利用等腰三角形性质得到边的关系；再结合AD⊥AB构造直角三角形，运用直角三角形30°角的性质得到AD与BD的关系；接着通过三角形外角性质推导∠DAC的度数，得出AD=DC；最后根据BC=BD+DC的线段和关系，代入已知BC的长度计算出BD。
【解析】
在△ABC中，
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC（等角对等边）。
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴∠ADB=90°−30°=60°，且AD=½BD（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC，
即60°=30°+∠DAC，解得∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，因此AD=DC（等角对等边）。
∴DC=AD=½BD，
∵BC=BD+DC，且BC=12，
∴BD + ½BD =12，即(3/2)BD=12，
解得BD=12×(2/3)=8。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形与直角三角形的性质，解题核心是通过角度关系推导边的等量关系，建立BD与BC的数量关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.6
【分析】
第(1)问，先利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE，结合已知BE=AC推出AE=AC，得到等腰△AEC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明AD⊥BC；第(2)问，设∠B=x°，利用等腰三角形性质和三角形外角性质表示出∠AEC、∠C，再结合三角形内角和定理列方程求解∠B的度数。
【解析】
(1) 连接AE。
∵ EF垂直平分AB，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
又
∵ BE = AC，
∴ AE = AC。
∵ D为线段CE的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线垂直于底边）。
(2) 设∠B = x°。
∵ AE = BE，
∴ ∠BAE = ∠B = x°（等腰三角形两底角相等）。
∴ ∠AEC = ∠B + ∠BAE = 2x°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AEC = 2x°（等腰三角形两底角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，
即 x° + 75° + 2x° = 180°，
解得 x = 35。
∴ ∠B = 35°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) ∠B = 35°
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题关键是利用线段垂直平分线得到相等线段，推导等腰三角形后结合性质求解，需熟练掌握几何定理的应用，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
【分析】
要证明△DEF为等腰直角三角形，需证明DE=DF且∠EDF=90°。已知△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，连接AD后，可利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到AD=BD，∠BAD=∠B=45°，AD⊥BC，为证明三角形全等提供相等的边和角。结合已知BE=AF，通过SAS证明三角形全等，推出DE=DF，再通过角的等量代换得到∠EDF=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 如图①，连接AD。
∵ AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠DAC=45°，
∴ ∠BDA=90°，∠B=∠BAD，
∴ BD=AD。
又
∵ BE=AF，
∴ △BDE≌△ADF（SAS），
∴ ED=FD，∠BDE=∠ADF，
∴ ∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°，
∴ △DEF为等腰直角三角形。
(2) △DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：
如图②，连接AD。
∵ AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，
∴ AD⊥BC，∠DAC=∠BAD=∠ABD=45°，
∴ ∠BDA=90°，AD=BD，
∵ E、F分别在AB、CA延长线上，
∴ ∠DAF=180°-∠DAC=135°，∠DBE=180°-∠ABD=135°，
∴ ∠DAF=∠DBE，
又
∵ AF=BE，
∴ △DAF≌△DBE（SAS），
∴ FD=ED，∠ADF=∠BDE，
∴ ∠EDF=∠BDE+∠FDB=∠ADF+∠FDB=∠BDA=90°，
∴ △DEF是等腰直角三角形。
【答案】
22. (1) 如图①, 连接 $AD$. $\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore AD⊥ BC,∠ B=∠ C=45°,∠ BAD=∠ DAC=45°.\therefore ∠ BDA=90°,∠ B=∠ BAD=∠ DAC.\therefore BD=AD$. 又 $\because BE=AF,\therefore △ BDE≌ △ ADF.\therefore ED=FD,∠ BDE=∠ ADF.\therefore ∠ EDF=∠ EDA+∠ ADF=∠ EDA+∠ BDE=∠ BDA=90°.\therefore △ DEF$ 为等腰直角三角形；(2) $△ DEF$ 仍为等腰直角三角形 理由: 如图②, 连接 $AD$. $\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore AD⊥ BC,∠ DAC=∠ BAD=∠ ABD=45°.\therefore ∠ BDA=90°,AD=BD,∠ DAF=∠ DBE=135°$. 又 $\because AF=BE,\therefore △ DAF≌ △ DBE.\therefore FD=ED,∠ ADF=∠ BDE.\therefore ∠ EDF=∠ BDE+∠ FDB=∠ ADF+∠ FDB=∠ BDA=90°.\therefore △ DEF$ 是等腰直角三角形
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，核心是利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造辅助线，通过全等三角形的判定推导边和角的关系，进而证明△DEF为等腰直角三角形，需熟练掌握等腰直角三角形的三线合一性质和全等证明的方法。
【难度系数】
0.6
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