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B
10
解：分别画出点A关于OM，ON的对称点B，C，连接BC分别交OM，ON于点D，E，连接AD，AE，则线段AD，DE，EA即为所求作的路径。
连接OB，OC。由题意，易得$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}，$$AD=BD，$$AE=CE，$$∠ BOM=∠ AOM，$$∠ AON=∠ CON。$
$\because ∠ MON=30°，$
$\therefore ∠ BOC=∠ BOM+∠ AOM+∠ AON+∠ CON=2(∠ AOM+∠ AON)=2∠ MON=60°。$
$\therefore △ OBC$为等边三角形。
$\therefore BC=2\ \mathrm{km}。$
$\therefore$ 整个过程所行的路程为$AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2\ \mathrm{km}。$

解：作点A关于ON的对称点E，再作点B关于OM的对称点F，连接EF，交ON于点C，交OM于点D，则路径$AC\to CD\to DB$即为最短路线，保留对应作图痕迹即可。

$50°$
【分析】要找到公路$ l $旁的点$ M $，使$ M $到$ A $、$ B $两城市的距离之和最短，需运用“将军饮马”模型：作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，根据轴对称性质可知$ MA = MA' $，则$ MA + MB $可转化为$ MA' + MB $；再结合“两点之间，线段最短”，连接$ A'B $，$ A'B $与直线$ l $的交点即为满足条件的点$ M $，据此判断选项。
【解析】根据轴对称的性质，作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，此时$ MA = MA' $，因此$ MA + MB = MA' + MB $。依据“两点之间，线段最短”，连接$ A'B $，$ A'B $与直线$ l $的交点就是使$ MA + MB $最短的点$ M $，观察四个选项，只有选项$ B $符合该作法。
【答案】B
【知识点】轴对称的应用；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】本题是典型的“将军饮马”最短路径问题，通过轴对称转化线段，将折线距离转化为两点间线段距离，结合线段的基本性质求解，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.6
【分析】
要找到PD+PB的最小值，利用等边三角形的对称性：等边△ABC的高AH是BC的垂直平分线，因此点B关于AH的对称点是点C，故PB=PC，将PD+PB转化为PD+PC。根据“两点之间线段最短”，当D、P、C三点共线时，PD+PC最小，最小值为线段DC的长度。结合等边三角形的性质，D是AB中点，DC是AB边上的中线，等边三角形的中线与高相等，因此DC=AH，即可求出结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AH是高，
∴AH垂直平分BC，即点B与点C关于直线AH对称，
∴PB=PC，
∴PD+PB=PD+PC，
根据两点之间线段最短，当点P为DC与AH的交点时，PD+PC取得最小值，最小值为线段DC的长度。
又
∵D是AB的中点，等边三角形的中线等于高，
∴DC=AH=10cm，
即PD+PB的最小值为10cm。
【答案】
10
【知识点】
轴对称最短路径，等边三角形性质
【点评】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径问题，利用轴对称转化线段，结合等边三角形的性质求解，考查学生对轴对称和等边三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.5
【分析】
要设计最短路径，需利用轴对称的性质将折线转化为直线段。分别作点A关于OM、ON的对称点，可使路径AD+DE+EA转化为线段BC，只需计算BC的长度即可。关键是利用对称得到的角度关系和边长，判断△OBC为等边三角形，从而求出BC的长度。
【解析】
1. 作点A关于OM的对称点B，作点A关于ON的对称点C，连接BC，分别交OM于点D，交ON于点E，则路径AD→DE→EA即为所求的最短路径。
2. 由轴对称性质得：AD=BD，AE=CE，OB=OA=2km，OC=OA=2km，∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON。
3. 已知∠MON=30°，则∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2(∠AOM+∠AON)=2∠MON=60°。
4. 因为OB=OC=2km，∠BOC=60°，所以△OBC是等边三角形，故BC=OB=2km。
5. 整个过程的路程为AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2km。
【答案】

【知识点】
轴对称最短路径、等边三角形判定
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，通过两次对称转化折线为直线，结合等边三角形性质求解，思路清晰，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
【分析】要设计从A处到草地（ON上任意点）牧马，再到小河（OM上任意点）饮水，最后回到B处的最短路线，本质是求折线AC+CD+DB的最小值。根据“两点之间线段最短”，需将折线转化为直线段，利用轴对称的性质：作点A关于ON的对称点E，可使AC=EC；作点B关于OM的对称点F，可使DB=DF。此时AC+CD+DB=EC+CD+DF，当E、C、D、F四点共线时，总和等于线段EF，为最短路径，因此连接EF，与ON、OM的交点即为所求的牧马点C和饮水点D。
【解析】1. 作点A关于直线ON的对称点E；2. 作点B关于直线OM的对称点F；3. 连接EF，分别交ON于点C，交OM于点D，则路线AC→CD→DB即为最短路线。
【答案】作点A关于ON的对称点E，再作点B关于OM的对称点F，连接EF，交ON于点C，交OM于点D，则AC→CD→DB为最短路线。
【知识点】轴对称应用、最短路径问题
【点评】本题通过轴对称变换将折线转化为直线段，结合“两点之间线段最短”的性质解决最短路径问题，体现了转化的数学思想，是轴对称在实际生活中的典型应用。
【难度系数】0.5
【分析】
先梳理解题思路：
1. 第(1)问：由AB=AC得△ABC是等腰三角形，先求顶角∠A的度数；再根据MN是AB的垂直平分线，得∠ANM=90°，在Rt△ANM中利用直角三角形两锐角互余，计算∠NMA的度数。
2. 第(2)问①：利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）得MB=MA，将△MBC的周长转化为AC+BC，结合AB=AC=8cm，即可求出BC的长度。
3. 第(2)问②：根据垂直平分线的对称性，点A、B关于直线MN对称，故PB=PA；要使△PBC周长最小，即PB+PC最小，转化为PA+PC最小，当A、P、C共线时，PA+PC最小为AC，此时P为MN与AC的交点M，进而求出最小周长。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70°，
∴ ∠A=180° - 70° -70°=40°，
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ ∠ANM=90°，
在△ANM中，∠NMA=90° - ∠A=90° -40°=50°。
(2) ①
∵ MN垂直平分AB，
∴ MB=MA，
∵ △MBC的周长=MB + CM + BC = MA + CM + BC = AC + BC，
又AB=AC=8cm，△MBC周长为14cm，
∴ 8 + BC=14，解得BC=6cm。
② 存在点P，点P与点M重合时，△PBC的周长最小，位置如图所示。
∵ MN垂直平分AB，
∴ 点A、B关于直线MN对称，故PB=PA，
∴ △PBC的周长=PB + PC + BC = PA + PC + BC，
根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，PA + PC最小，最小值为AC的长度，此时P为MN与AC的交点M，
∴ △PBC周长的最小值=AC + BC=8 +6=14cm。
【答案】
(1) $50°$
(2) ① $BC=6\ \mathrm{cm}$；② 存在，点P与点M重合，$△ PBC$周长最小值为$14\ \mathrm{cm}$，位置如图
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、最短路径问题
【点评】
本题综合考查等腰三角形、垂直平分线的性质及最短路径问题，核心是利用垂直平分线的对称性转化线段，将周长最小问题转化为线段和最小问题，需熟练掌握几何性质的应用。
【难度系数】
0.6
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