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解：小聪的设计图如下：
（设计图标注：长方形纸板长为40cm，宽为30cm，合理排布长方体展开面，剪去的多余边角更少）
小明的方案所需长方形纸板的面积为$(20+5) × 2 × 25 = 1250\ \mathrm{cm}^2，$
小聪的方案所需长方形纸板的面积为$(5+15) × 2 × 30 = 1200\ \mathrm{cm}^2。$
因为$1200 < 1250，$所以小聪的方案所需纸板面积更小，采购成本更低，方案更好。
两直线平行，内错角相等
平行于同一条直线的两条直线互相平行
两直线平行，内错角相等
$∠ D$
82
131
解：$∠ PFC-∠ PEA=∠ EPF，$理由如下：
过点$P$作$PH// AB$（点$H$在点$P$的右侧），
所以$∠ HPE=∠ PEA。$
因为$AB// CD，$
所以$PH// CD，$
所以$∠ HPF=∠ PFC，$
所以$∠ EPF=∠ HPF-∠ HPE=∠ PFC-∠ PEA，$
即$∠ PFC-∠ PEA=∠ EPF。$
【分析】
（1）第一问判断无盖正方体纸盒的表面展开图，先明确无盖正方体展开图共5个正方形，折叠时不能出现面重叠的情况，逐一排查选项即可得到结果。（2）第二问求长方体的长和宽，结合裁剪方式，长是原正方形边长减去左右两个剪去的小正方形边长，剩余的长度平分为两份就是长方体的宽，对应有盖纸盒的两个底面宽度。（3）第三问是优化设计问题，降低采购成本的本质是减小所用长方形纸板的面积，需要将长方体的6个面更合理地排列在长方形纸板上，分别计算两种方案的纸板面积，比较大小即可说明方案的优劣。
【解析】
（1）无盖正方体纸盒的表面展开图由5个正方形组成，折叠时各面不能重合。选项B的图形折叠时会出现两个面重叠的情况，无法折成无盖正方体纸盒，因此选B。
（2）已知原正方形纸板边长为$a\ \mathrm{cm}$，剪去的小正方形边长为$b\ \mathrm{cm}$，长方体纸盒的高为$b\ \mathrm{cm}$。长方体的长等于原正方形边长减去左右两个小正方形的边长，即长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$；剩余的长度为$a-2b$，需要平分作为有盖长方体的两个宽，因此宽为$\frac{a-2b}{2}\ \mathrm{cm}$。
（3）首先计算小明方案的长方形纸板面积：由小明的设计可知，纸板的长为$(20+5)×2=50\ \mathrm{cm}$，宽为$15+5×2=25\ \mathrm{cm}$，面积为$50×25=1250\ \mathrm{cm}^2$。
小聪的设计将长方体的面更紧凑排列，设计图，对应纸板的长为$(15+5)×2=40\ \mathrm{cm}$，宽为$20+5×2=30\ \mathrm{cm}$，面积为$40×30=1200\ \mathrm{cm}^2$。
因为$1200＜1250$，小聪的方案所用纸板面积更小，采购成本更低，因此方案更好。
【答案】
（1）B
（2）$a-2b$ $\frac{a-2b}{2}$
（3）小聪的设计图如图所示
小明的方案所需长方形纸板的面积为$(20+5)×2×25=1250(\mathrm{cm}^2)$,小聪的方案所需长方形纸板的面积为$(5+15)×2×30=1200(\mathrm{cm}^2)$.因为1200＜1250,所以小聪的方案更好
【知识点】
正方体展开图识别；列代数式；长方体展开与折叠
【点评】
本题结合实际制作纸盒的情境考查立体图形展开图的相关知识，既需要空间想象能力识别展开图，也需要结合实际需求优化方案，侧重考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65
【分析】
(1) 本问考查平行线性质与平行公理推论的基础应用，过拐点作平行于已知直线的辅助线后，根据平行线内错角相等的性质、平行公理的推论，结合角的和差关系即可补全说理过程。
(2) 本问是(1)中拐点模型的拓展应用，过P作平行于AB的辅助线后，利用平行线同旁内角互补的性质，分别求出两个角的邻补角，相加即可得到∠EPF的度数。
(3) 当点P在AB上方时，同样过P作平行于AB的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，将三个角转化为共顶点的角，通过角的差推导得到三者的数量关系。
(4) 本问结合角平分线的定义，可设角平分线分出的小角为参数，利用拐点模型的结论将∠EPF和∠Q都用参数表示，代入已知角度即可求出∠Q的度数。
【解析】
(1) 过点P作$PM// AB$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠B=∠BPM$；已知$AB// CD$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，得$PM// CD$，再根据两直线平行，内错角相等，得$∠D=∠DPM$；由角的和差可知$∠BPM+∠DPM=∠BPD$，等量代换得$∠B+∠D=∠BPD$。
(2) 过点P作$PM// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore PM// CD$。$\because ∠BEP=150°$，$\therefore ∠EPM=180°-∠BEP=30°$（两直线平行，同旁内角互补）；$\because ∠PFD=128°$，$\therefore ∠FPM=180°-∠PFD=52°$（两直线平行，同旁内角互补），$\therefore ∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°+52°=82°$。
(3) 数量关系为$∠PFC−∠PEA=∠EPF$，理由如下：过点P作$PH// AB$（点H在点P右侧），$\because PH// AB$，$\therefore ∠HPE=∠PEA$（两直线平行，内错角相等）；$\because AB// CD$，$\therefore PH// CD$（平行于同一直线的两直线平行），$\therefore ∠HPF=∠PFC$（两直线平行，内错角相等）；$\because ∠EPF=∠HPF−∠HPE$，代入得$∠EPF=∠PFC−∠PEA$，即$∠PFC−∠PEA=∠EPF$。
(4) 设$∠AEQ=∠PEQ=α$，$∠CFQ=∠PFQ=β$（角平分线定义），则$∠AEP=2α$，$∠CFP=2β$，$\therefore ∠BEP=180°−2α$，$∠DFP=180°−2β$。由(1)的拐点模型结论可知：$∠Q=∠AEQ+∠CFQ=α+β$，$∠EPF=∠BEP+∠DFP=(180°−2α)+(180°−2β)=360°−2(α+β)$。已知$∠EPF=98°$，代入得$98°=360°−2(α+β)$，解得$α+β=131°$，即$∠Q=131°$。
【答案】
（1）两直线平行,内错角相等 平行于同一条直线的两条直线互相平行 两直线平行,内错角相等 $∠D$
（2）82
（3）$∠PFC−∠PEA=∠EPF$ 理由:如图,过点P作$PH// AB$(点H在点P的右侧),所以$∠HPE=∠PEA$.因为$AB// CD$,所以$PH// CD$.所以$∠HPF=∠PFC$.所以$∠EPF=∠HPF−∠HPE=∠PFC−∠PEA$,即$∠PFC−∠PEA=∠EPF$.
（4）131

【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角平分线的定义
【点评】
本题围绕平行线拐点模型展开考查，从基础结论推导到拓展应用，再结合角平分线进行角度计算，层层递进，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，利用平行线性质转化角度关系，同时需要熟练运用等量代换思想解决角度计算问题。
【难度系数】
0.6
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