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解：
（1）利用方格的直角特征，过点C作直线CE，使CE与AB的夹角为90°，直线CE即为所求的垂线。
（2）过点D作直线DF，使DF与AB的夹角为90°，直线DF即为所求的垂线。
（3）直线CE与DF互相平行。
结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
解：
（1）
∵ OE⊥CD，
∴ ∠COE = 90°。
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠AOC = ∠BOD = 32°（对顶角相等），
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 32° = 58°。
（2）
∵ OF平分∠AOC，
∴ ∠AOF = ∠COF。
由平角的定义得：∠AOF + ∠BOF = 180°，
∴ ∠BOF与∠AOF互补。
由平角的定义得：∠COF + ∠DOF = 180°，
又
∵ ∠AOF = ∠COF，
∴ ∠AOF + ∠DOF = 180°，即∠DOF与∠AOF互补。
综上，与∠AOF互补的角是∠BOF、∠DOF。

解：
(1) ① 补全图形：作射线OD平分∠BOC，使得$∠ BOD=15°，$再在直线AB上方作射线OE，满足$OE⊥ OD，$垂足为O，即可得到符合题意的完整图形。
② 因为OD平分$∠ BOC，$$∠ BOC=30°，$
所以 $∠ BOD = \dfrac{1}{2}∠ BOC = 15°，$
因为 $OE ⊥ OD，$所以 $∠ EOD = 90°，$
又因为点O在直线AB上，$∠ AOB=180°，$
因此 $∠ AOE = 180° - ∠ EOD - ∠ BOD = 180° - 90° -15° =75°。$
(2) 当点C在直线AB上方时，$∠ AOE = 90° - \dfrac{α}{2}；$
当点C在直线AB下方时，$∠ AOE = 90° + \dfrac{α}{2}。$
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