14.「2024 四川遂宁中考」(8 分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m+2) x+m-1= 0$.
(1) 求证:无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
证明: $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1$，$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=[-(m+2)]^{2}-4 × 1 ×(m-1)=m^{2}+4 m+4-4 m+4=m^{2}+8$.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2) 如果方程的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}= 9$, 求 $m$ 的值.
解：由题意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值为
(1) 求证:无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
证明: $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1$，$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=[-(m+2)]^{2}-4 × 1 ×(m-1)=m^{2}+4 m+4-4 m+4=m^{2}+8$.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2) 如果方程的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}= 9$, 求 $m$ 的值.
解：由题意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值为
-2 或 1
.答案：解析 (1) 证明: $\because a=1, b=-(m+2), c=m-1$，$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=[-(m+2)]^{2}-4 \times 1 \times(m-1)=m^{2}+4 m+4-4 m+4=m^{2}+8$.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2) 由题意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值为 -2 或 1.
$\because m^{2} \geqslant 0, \therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2) 由题意得 $x_{1}+x_{2}=m+2, x_{1} x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=9$，即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3 x_{1} x_{2}=9$，
$\therefore(m+2)^{2}-3(m-1)=9$. 整理，得 $m^{2}+m-2=0$.
$\therefore(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_{1}=-2, m_{2}=1$.
$\therefore m$ 的值为 -2 或 1.
15. 新考向「2025 山西晋中榆次月考」(8 分) 阅读材料,解答问题.
解方程: $(4 x-1)^{2}-10(4 x-1)+24= 0$.
解: 把 $4 x-1$ 视为一个整体, 设 $4 x-1= y$,
则原方程可化为 $y^{2}-10 y+24= 0$.
解得 $y_{1}= 6, y_{2}= 4$.
$\therefore 4 x-1= 6$ 或 $4 x-1= 4$.
$\therefore x_{1}= \frac{7}{4}, x_{2}= \frac{5}{4}$.
以上方法就叫换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程:
(1) $x^{4}-x^{2}-6= 0$.
解：设
当 $y=3$ 时，
$\therefore$ 原方程的解为
(2) $\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-5 x^{2}+10 x-6= 0$.
解：设
当 $y=6$ 时，
当 $y=-1$ 时，
综上所述，原方程的解为
解方程: $(4 x-1)^{2}-10(4 x-1)+24= 0$.
解: 把 $4 x-1$ 视为一个整体, 设 $4 x-1= y$,
则原方程可化为 $y^{2}-10 y+24= 0$.
解得 $y_{1}= 6, y_{2}= 4$.
$\therefore 4 x-1= 6$ 或 $4 x-1= 4$.
$\therefore x_{1}= \frac{7}{4}, x_{2}= \frac{5}{4}$.
以上方法就叫换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程:
(1) $x^{4}-x^{2}-6= 0$.
解：设
$x^{2}=y$
，则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$
，因式分解，得$(y-3)(y+2)=0$
，解得$y_{1}=3, y_{2}=-2$
.当 $y=3$ 时，
$x^{2}=3$
，$\therefore x=$$\pm \sqrt{3}$
；当 $y=-2$ 时，$x^{2}=-2$
，无解.$\therefore$ 原方程的解为
$x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$
.(2) $\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-5 x^{2}+10 x-6= 0$.
解：设
$x^{2}-2 x=y$
，则原方程可化为$y^{2}-5 y-6=0$
，因式分解，得$(y-6)(y+1)=0$
，解得$y_{1}=6, y_{2}=-1$
.当 $y=6$ 时，
$x^{2}-2 x=6$
，解得$x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$
；当 $y=-1$ 时，
$x^{2}-2 x=-1$
，解得$x_{3}=x_{4}=1$
.综上所述，原方程的解为
$x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}, x_{3}=x_{4}=1$
.答案：解析 (1) 设 $x^{2}=y$，则原方程可化为 $y^{2}-y-6=0$，因式分解，得 $(y-3)(y+2)=0$，解得 $y_{1}=3, y_{2}=-2$.
当 $y=3$ 时，$x^{2}=3, \therefore x= \pm \sqrt{3}$；当 $y=-2$ 时，$x^{2}=-2$，无解.
$\therefore$ 原方程的解为 $x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$.
(2) 设 $x^{2}-2 x=y$，则原方程可化为 $y^{2}-5 y-6=0$，因式分解，得 $(y-6)(y+1)=0$，解得 $y_{1}=6, y_{2}=-1$.
当 $y=6$ 时，$x^{2}-2 x=6$，解得 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$；
当 $y=-1$ 时，$x^{2}-2 x=-1$，解得 $x_{3}=x_{4}=1$.
综上所述，原方程的解为 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}, x_{3}=x_{4}=1$.
当 $y=3$ 时，$x^{2}=3, \therefore x= \pm \sqrt{3}$；当 $y=-2$ 时，$x^{2}=-2$，无解.
$\therefore$ 原方程的解为 $x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$.
(2) 设 $x^{2}-2 x=y$，则原方程可化为 $y^{2}-5 y-6=0$，因式分解，得 $(y-6)(y+1)=0$，解得 $y_{1}=6, y_{2}=-1$.
当 $y=6$ 时，$x^{2}-2 x=6$，解得 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$；
当 $y=-1$ 时，$x^{2}-2 x=-1$，解得 $x_{3}=x_{4}=1$.
综上所述，原方程的解为 $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}, x_{3}=x_{4}=1$.
16.「2025 河北秦皇岛卢龙期中」(12 分) “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展. 某品牌头盔的销量逐月增加, 某超市以每个 20 元的进价购进一批该品牌头盔, 当该头盔售价为 30 元/个时,七月销售 200 个,八、九月该品牌头盔销量持续上涨,在售价不变的基础上,九月的销量达到 288 个.
(1) 求八、九两月销量的月平均增长率.
(2) 十月该超市为了减少库存,开始降价促销,经调查发现,该品牌头盔每个售价每降低 1 元,月销量在九月销量的基础上增加 3 个.
①设该品牌头盔每个降价 $x$ 元,则每个头盔的利润为____
②若该超市十月能获利 1800 元,求每个头盔的售价.
(1) 求八、九两月销量的月平均增长率.
(2) 十月该超市为了减少库存,开始降价促销,经调查发现,该品牌头盔每个售价每降低 1 元,月销量在九月销量的基础上增加 3 个.
①设该品牌头盔每个降价 $x$ 元,则每个头盔的利润为____
(10-x)
____元,该月销售量是____(288+3x)
____个.(请用含 $x$ 的代数式表示)②若该超市十月能获利 1800 元,求每个头盔的售价.
答案：解析 (1) 设八、九两月销量的月平均增长率为 $y$，根据题意，得 $200(1+y)^{2}=288$，解得 $y_{1}=0.2=20 \%, y_{2}=-2.2$ (不符合题意，舍去).
答: 八、九两月销量的月平均增长率为 $20 \%$.
(2) ① $(10-x) ;(288+3 x)$.
② 设该品牌头盔每个降价 $a$ 元，
根据题意，得 $(10-a)(288+3 a)=1800$，
整理，得 $a^{2}+86 a-360=0$，
解得 $a_{1}=4, a_{2}=-90$ (不符合题意，舍去)，
$\therefore 30-a=30-4=26$ (元).
答: 每个头盔的售价为 26 元.
答: 八、九两月销量的月平均增长率为 $20 \%$.
(2) ① $(10-x) ;(288+3 x)$.
② 设该品牌头盔每个降价 $a$ 元，
根据题意，得 $(10-a)(288+3 a)=1800$，
整理，得 $a^{2}+86 a-360=0$，
解得 $a_{1}=4, a_{2}=-90$ (不符合题意，舍去)，
$\therefore 30-a=30-4=26$ (元).
答: 每个头盔的售价为 26 元.