1.「2025山东滨州滨城期中」关于抛物线$y = - 2(x + 1)^2 + 3$,下列说法错误的是(
A. 开口向下
B. 当$x ＜ - 1$时,$y随x$的增大而减小
C. 对称轴是直线$x = - 1$
D. 经过点$(0,1)$
B
)A. 开口向下
B. 当$x ＜ - 1$时,$y随x$的增大而减小
C. 对称轴是直线$x = - 1$
D. 经过点$(0,1)$
答案：B A. $\because - 2 ＜ 0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，故A选项正确；B. $\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x = - 1$，$\therefore$ 当$x ＜ - 1$时，$y$随$x$的增大而增大，故B选项错误；C. 由解析式可知，对称轴为直线$x = - 1$，故C选项正确；D. 令$x = 0$，得$y = - 2×1 + 3 = 1$，$\therefore$ 抛物线经过点$(0,1)$，故D选项正确. 故选B.
2.「2025浙江温州瑞安月考」甲,乙两个二次函数分别为$y_{甲} = (x + 10)^2 + 30$,$y_{乙} = - (x - 20)^2 + 30$,下列叙述正确的是(
A. 当$x = 10$时,$y_{甲}$有最大值30
B. 当$x = 10$时,$y_{甲}$有最小值30
C. 当$x = 20$时,$y_{乙}$有最大值30
D. 当$x = 20$时,$y_{乙}$有最小值-30
C
)A. 当$x = 10$时,$y_{甲}$有最大值30
B. 当$x = 10$时,$y_{甲}$有最小值30
C. 当$x = 20$时,$y_{乙}$有最大值30
D. 当$x = 20$时,$y_{乙}$有最小值-30
答案：C $\because$ 二次函数$y_{甲} = (x + 10)^2 + 30$中，$a = 1 ＞ 0$，$\therefore$ 当$x = - 10$时，$y_{甲}$有最小值30，$\therefore$ A、B选项错误；$\because$ 二次函数$y_{乙} = - (x - 20)^2 + 30$中，$a = - 1 ＜ 0$，$\therefore$ 当$x = 20$时，$y_{乙}$有最大值30，$\therefore$ C选项正确，D选项错误. 故选C.
3.「2024四川凉山州中考」抛物线$y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c经过(- 2,y_1)$,$(0,y_2)$,$(\frac{5}{2},y_3)$三点,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系正确的是(
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
D
)A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
答案：D $\because y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴是直线$x = 1$，$\therefore$ 当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，$\because (\frac{5}{2},y_3)$关于直线$x = 1$的对称点是$(-\frac{1}{2},y_3)$，$- 2 ＜ - \frac{1}{2} ＜ 0 ＜ 1$，$\therefore y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$. 故选D.
4.新代数推理如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的$h$,$k$,$m$,$n$都是常数,则下列关系不正确的是(
A. $h ＜ 0$,$k ＞ 0$
B. $m ＜ 0$,$n ＞ 0$
C. $h = m$
D. $k = n$
D
)A. $h ＜ 0$,$k ＞ 0$
B. $m ＜ 0$,$n ＞ 0$
C. $h = m$
D. $k = n$
答案：根据二次函数的解析式确定两抛物线的顶点坐标分别为$(h,k)$，$(m,n)$，因为它们的对称轴相同，所以$m = h$，由题图知$h ＜ 0$，$k ＞ 0$，$m ＜ 0$，$n ＞ 0$，因为点$(h,k)$在点$(m,n)$的下方，所以$k ＜ n$. 故选D.
5.学科分类讨论思想抛物线$y = (x - a)^2 + a - 1$的顶点一定不在(
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
B
)A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：$\because y = (x - a)^2 + a - 1$，$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标为$(a,a - 1)$，当$a ＞ 1$时，$a - 1 ＞ 0$，此时顶点在第一象限，故A不符合题意；当$0 ＜ a ＜ 1$时，$- 1 ＜ a - 1 ＜ 0$，此时顶点在第四象限，故D不符合题意；当$a ＜ 0$时，$a - 1 ＜ 0$，此时顶点在第三象限，故C不符合题意. 故选B.
6.学科多解法「2024山东滨州中考」将抛物线$y = - x^2$先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为______
(1,2)
。答案：答案 $(1,2)$
解析 【解法一】将抛物线$y = - x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线的解析式为$y = - (x - 1)^2 + 2$，$\therefore$ 顶点坐标为$(1,2)$.
【解法二】平移前抛物线$y = - x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后对应顶点的坐标为$(1,2)$.
解析 【解法一】将抛物线$y = - x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线的解析式为$y = - (x - 1)^2 + 2$，$\therefore$ 顶点坐标为$(1,2)$.
【解法二】平移前抛物线$y = - x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后对应顶点的坐标为$(1,2)$.
7.「2025浙江杭州期中」若$- 1 \leq x \leq m$时,函数$y = (x - 2)^2 + 1$的最大值为17,则$m = $
6
。答案：答案 6
解析 $\because$ 二次函数$y = (x - 2)^2 + 1$，$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x = 2$.
当$x = 2$时，$y$取得最小值，为1，当$x = - 1$时，$y = (- 1 - 2)^2 + 1 = 10$，$\because$ 当$- 1 \leq x \leq m$时，函数$y = (x - 2)^2 + 1$的最大值为17，$\therefore$ 当$x = m$时，$y$取得最大值，为17，即$(m - 2)^2 + 1 = 17$，解得$m = 6$或$m = - 2$（舍去）.
解析 $\because$ 二次函数$y = (x - 2)^2 + 1$，$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x = 2$.
当$x = 2$时，$y$取得最小值，为1，当$x = - 1$时，$y = (- 1 - 2)^2 + 1 = 10$，$\because$ 当$- 1 \leq x \leq m$时，函数$y = (x - 2)^2 + 1$的最大值为17，$\therefore$ 当$x = m$时，$y$取得最大值，为17，即$(m - 2)^2 + 1 = 17$，解得$m = 6$或$m = - 2$（舍去）.
8.「2023辽宁大连中山期末」已知抛物线$C_1的解析式为y = x^2 - 2x + 1$,将抛物线$C_1$先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线$C_2$。
(1)求抛物线$C_2$的函数关系式。
(2)点$A(a,- 3)是不是抛物线C_2$上的点？请说明理由。
(1)求抛物线$C_2$的函数关系式。
(2)点$A(a,- 3)是不是抛物线C_2$上的点？请说明理由。
答案：解析 (1) $\because$ 抛物线$C_1$的解析式为$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，$\therefore$ 平移后的抛物线的顶点坐标为$(2,- 2)$，$\therefore$ 抛物线$C_2$的解析式为$y = (x - 2)^2 - 2$.
(2) 点$A$不是抛物线$C_2$上的点.
理由：$\because$ 抛物线$C_2$的开口向上，函数有最小值，为$- 2$，$- 3 ＜ - 2$，$\therefore$ 点$A$不是抛物线$C_2$上的点.
(2) 点$A$不是抛物线$C_2$上的点.
理由：$\because$ 抛物线$C_2$的开口向上，函数有最小值，为$- 2$，$- 3 ＜ - 2$，$\therefore$ 点$A$不是抛物线$C_2$上的点.
9.「2025江苏苏州姑苏期中,★☆」二次函数$y = a(x - 3)^2 + c与一次函数y = cx + a$在同一坐标系中的大致图象是(
A
)答案：A. $\because$ 一次函数$y = cx + a$的图象过第一、二、四象限，$\therefore a ＞ 0$，$c ＜ 0$，$\because$ 二次函数$y = a(x - 3)^2 + c$的图象开口向上，顶点$(3,c)$在第四象限，$\therefore a ＞ 0$，$c ＜ 0$，一致，故A正确；B. $\because$ 一次函数$y = cx + a$的图象与$y$轴交于负半轴，$\therefore a ＜ 0$，$\because$ 二次函数$y = a(x - 3)^2 + c$的图象开口向上，$\therefore a ＞ 0$，矛盾，故B错误；C. 二次函数$y = a(x - 3)^2 + c$的对称轴为直线$x = 3$，在$y$轴右侧，故C错误；D. $\because$ 一次函数$y = cx + a$的图象过第一、二、三象限，$\therefore c ＞ 0$，$\because$ 抛物线$y = a(x - 3)^2 + c$的顶点$(3,c)$在第四象限，$\therefore c ＜ 0$，矛盾，故D错误. 故选A.
10.「2025浙江嘉兴平湖林埭中学月考,★☆」已知抛物线$y = - 5(x + m)^2 - 3$。当$x \geq 2$时,$y随x$的增大而减小,那么$m$的取值范围是(
A. $m \geq - 2$
B. $m \leq - 2$
C. $- 2 ＜ m ＜ 0$
D. $m ＜ - 2$
A
)A. $m \geq - 2$
B. $m \leq - 2$
C. $- 2 ＜ m ＜ 0$
D. $m ＜ - 2$
答案：A $\because y = - 5(x + m)^2 - 3$，$\therefore$ 对称轴为直线$x = - m$，$\because a = - 5 ＜ 0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$\because$ 当$x \geq 2$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore - m \leq 2$，解得$m \geq - 2$，故选A.