3.某企业下属A，B两厂向甲、乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲、乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨.
(1)求A，B两厂各运送多少吨水泥；
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨.受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨.设从A厂运往甲地a吨水泥，A，B两厂运往甲、乙两地的总运费为w元.求w与a之间的函数表达式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由.
(1)求A，B两厂各运送多少吨水泥；
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨.受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨.设从A厂运往甲地a吨水泥，A，B两厂运往甲、乙两地的总运费为w元.求w与a之间的函数表达式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由.
答案：解: (1) 设A厂运送水泥$x$吨，则B厂运送水泥$(x + 20)$吨，根据题意得$x + x + 20 = 520$，
解得$x = 250$，此时$x + 20 = 270$.
答:A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨.
(2) 由题意得从A厂运往乙地$(250 - a)$吨水泥，从B厂运往甲地$(240 - a)$吨水泥，从B厂运往乙地$280 - (250 - a) = 30 + a$(吨)水泥，由题意得$w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(a + 30) = 40a + 8750 - 35a + 6720 - 28a + 25a + 750 = 2a + 16220$，
$\because$从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
$\therefore 240 - a\leq150$，解得$a\geq90$，$\because 2\gt0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，$\therefore$当$a = 90$时，总费用最低，最低运费为$2\times90 + 16220 = 16400$(元)，$\therefore$总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地90吨水泥，运往乙地160吨水泥；从B厂运往甲地150吨水泥，运往乙地120吨水泥，最低运费为16400元.
解得$x = 250$，此时$x + 20 = 270$.
答:A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨.
(2) 由题意得从A厂运往乙地$(250 - a)$吨水泥，从B厂运往甲地$(240 - a)$吨水泥，从B厂运往乙地$280 - (250 - a) = 30 + a$(吨)水泥，由题意得$w = 40a + 35(250 - a) + 28(240 - a) + 25(a + 30) = 40a + 8750 - 35a + 6720 - 28a + 25a + 750 = 2a + 16220$，
$\because$从B厂运往甲地的水泥最多150吨，
$\therefore 240 - a\leq150$，解得$a\geq90$，$\because 2\gt0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，$\therefore$当$a = 90$时，总费用最低，最低运费为$2\times90 + 16220 = 16400$(元)，$\therefore$总运费最低的运送方案为从A厂运往甲地90吨水泥，运往乙地160吨水泥；从B厂运往甲地150吨水泥，运往乙地120吨水泥，最低运费为16400元.
4.(2023·达州)某县著名传统土特产“豆笋”“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元.
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的$\frac{3}{2}$，该特产店有哪几种进货方案?
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元?
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的$\frac{3}{2}$，该特产店有哪几种进货方案?
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元?
答案：解: (1) 设每件豆笋的进价为$x$元，每件豆干的进价为$y$元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 240,\\ 3x + 4y = 340,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 60,\\ y = 40,\end{array}\right.$
$\therefore$每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元.
(2) 设购进豆笋$a$件，则购进豆干$(200 - a)$件，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l} 60a + 40(200 - a)\leq10440,\\ a\geq\frac{3}{2}(200 - a),\end{array}\right.$
解得$120\leq a\leq122$，且$a$为整数，
$\therefore$该特产店有以下三种进货方案:
当$a = 120$时，$200 - a = 80$，即购进豆笋120件，豆干80件，
当$a = 121$时，$200 - a = 79$，即购进豆笋121件，豆干79件，
当$a = 122$时，$200 - a = 78$，即购进豆笋122件，豆干78件.
(3) 设总利润为$w$元，
则$w = (80 - 60)\cdot a + (55 - 40)\cdot(200 - a) = 5a + 3000$，
$\because 5\gt0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，
$\therefore$当$a = 122$时，$w$取得最大值，最大值为$5\times122 + 3000 = 3610$，$\therefore$购进豆笋122件，豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元.
由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 240,\\ 3x + 4y = 340,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 60,\\ y = 40,\end{array}\right.$
$\therefore$每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元.
(2) 设购进豆笋$a$件，则购进豆干$(200 - a)$件，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l} 60a + 40(200 - a)\leq10440,\\ a\geq\frac{3}{2}(200 - a),\end{array}\right.$
解得$120\leq a\leq122$，且$a$为整数，
$\therefore$该特产店有以下三种进货方案:
当$a = 120$时，$200 - a = 80$，即购进豆笋120件，豆干80件，
当$a = 121$时，$200 - a = 79$，即购进豆笋121件，豆干79件，
当$a = 122$时，$200 - a = 78$，即购进豆笋122件，豆干78件.
(3) 设总利润为$w$元，
则$w = (80 - 60)\cdot a + (55 - 40)\cdot(200 - a) = 5a + 3000$，
$\because 5\gt0$，$\therefore w$随$a$的增大而增大，
$\therefore$当$a = 122$时，$w$取得最大值，最大值为$5\times122 + 3000 = 3610$，$\therefore$购进豆笋122件，豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元.