1. (2024·临夏州)一次函数$y = kx - 1(k\neq0)$的函数值$y$随$x$的增大而减小,它的图象不经过的象限是（
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A
）A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：A
2. (贺州中考)直线$y = ax + b(a\neq0)$过点$A(0,1)$,$B(2,0)$,则关于$x$的方程$ax + b = 0$的解为（
A. $x = 0$
B. $x = 1$
C. $x = 2$
D. $x = 3$
C
）A. $x = 0$
B. $x = 1$
C. $x = 2$
D. $x = 3$
答案：C
3. (2023·内蒙古)在平面直角坐标系中,将正比例函数$y = - 2x$的图象向右平移$3$个单位长度得到一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象,则该一次函数的表达式为（
A. $y = - 2x + 3$
B. $y = - 2x + 6$
C. $y = - 2x - 3$
D. $y = - 2x - 6$
B
）A. $y = - 2x + 3$
B. $y = - 2x + 6$
C. $y = - 2x - 3$
D. $y = - 2x - 6$
答案：B
4. (2024春·启东月考)如图,直线$y = kx + b(k\gt0)$经过点$A(-4,1)$,当$kx + b\gt-\frac{1}{4}x$时,$x$的取值范围为（
A. $x\gt-\frac{1}{4}$
B. $x\lt0$
C. $x\lt - 4$
D. $x\gt - 4$
D
）A. $x\gt-\frac{1}{4}$
B. $x\lt0$
C. $x\lt - 4$
D. $x\gt - 4$
答案：D
5. 如图,直线$y = x + 1$与两坐标轴分别交于点$A$,$B$,点$C$是$OB$的中点,点$D$,$E$分别是直线$AB$,$y$轴上的动点,则$\triangle CDE$的周长的最小值是（
A. $\sqrt{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
B
）A. $\sqrt{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案：1. 首先求$A$，$B$，$C$的坐标：
对于直线$y = x + 1$，当$x = 0$时，$y=1$，所以$A(0,1)$；当$y = 0$时，$x=-1$，所以$B(-1,0)$。
因为点$C$是$OB$的中点，$O(0,0)$，$B(-1,0)$，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$C(-\frac{1}{2},0)$。
2. 然后作对称点：
作点$C$关于$y$轴的对称点$C_1(\frac{1}{2},0)$，作点$C$关于直线$y = x + 1$的对称点$C_2$。
设$C_2(m,n)$，直线$CC_2$与直线$y = x + 1$垂直，直线$y = x + 1$的斜率$k = 1$，根据两垂直直线斜率之积$k_1k_2=-1$，则直线$CC_2$的斜率$k_{CC_2}=-1$，直线$CC_2$的方程为$y-0=-1×(x + \frac{1}{2})$，即$y=-x-\frac{1}{2}$。
联立$\begin{cases}y = x + 1\\y=-x-\frac{1}{2}\end{cases}$，解方程组：
将$y = x + 1$代入$y=-x-\frac{1}{2}$得$x + 1=-x-\frac{1}{2}$。
移项可得$2x=-\frac{3}{2}$，解得$x =-\frac{3}{4}$，则$y=-\frac{3}{4}+1=\frac{1}{4}$，所以直线$y = x + 1$与$y=-x-\frac{1}{2}$的交点$M(-\frac{3}{4},\frac{1}{4})$。
因为$M$是$CC_2$的中点，根据中点坐标公式$\frac{m-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，$\frac{n + 0}{2}=\frac{1}{4}$。
由$\frac{m-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，得$m-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$m=-1$；由$\frac{n}{2}=\frac{1}{4}$，得$n=\frac{1}{2}$，所以$C_2(-1,\frac{1}{2})$。
3. 最后求周长最小值：
根据两点之间线段最短，$\triangle CDE$的周长$l = CD + DE+EC=CD + DE + EC_1$，其最小值为$C_1C_2$的长度。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$C_1(\frac{1}{2},0)$，$C_2(-1,\frac{1}{2})$，则$C_1C_2=\sqrt{(\frac{1}{2}+1)^2+(0-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9 + 1}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以$\triangle CDE$的周长的最小值是$\frac{\sqrt{10}}{2}$，答案是B。
对于直线$y = x + 1$，当$x = 0$时，$y=1$，所以$A(0,1)$；当$y = 0$时，$x=-1$，所以$B(-1,0)$。
因为点$C$是$OB$的中点，$O(0,0)$，$B(-1,0)$，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$C(-\frac{1}{2},0)$。
2. 然后作对称点：
作点$C$关于$y$轴的对称点$C_1(\frac{1}{2},0)$，作点$C$关于直线$y = x + 1$的对称点$C_2$。
设$C_2(m,n)$，直线$CC_2$与直线$y = x + 1$垂直，直线$y = x + 1$的斜率$k = 1$，根据两垂直直线斜率之积$k_1k_2=-1$，则直线$CC_2$的斜率$k_{CC_2}=-1$，直线$CC_2$的方程为$y-0=-1×(x + \frac{1}{2})$，即$y=-x-\frac{1}{2}$。
联立$\begin{cases}y = x + 1\\y=-x-\frac{1}{2}\end{cases}$，解方程组：
将$y = x + 1$代入$y=-x-\frac{1}{2}$得$x + 1=-x-\frac{1}{2}$。
移项可得$2x=-\frac{3}{2}$，解得$x =-\frac{3}{4}$，则$y=-\frac{3}{4}+1=\frac{1}{4}$，所以直线$y = x + 1$与$y=-x-\frac{1}{2}$的交点$M(-\frac{3}{4},\frac{1}{4})$。
因为$M$是$CC_2$的中点，根据中点坐标公式$\frac{m-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，$\frac{n + 0}{2}=\frac{1}{4}$。
由$\frac{m-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，得$m-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，$m=-1$；由$\frac{n}{2}=\frac{1}{4}$，得$n=\frac{1}{2}$，所以$C_2(-1,\frac{1}{2})$。
3. 最后求周长最小值：
根据两点之间线段最短，$\triangle CDE$的周长$l = CD + DE+EC=CD + DE + EC_1$，其最小值为$C_1C_2$的长度。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$C_1(\frac{1}{2},0)$，$C_2(-1,\frac{1}{2})$，则$C_1C_2=\sqrt{(\frac{1}{2}+1)^2+(0-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9 + 1}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以$\triangle CDE$的周长的最小值是$\frac{\sqrt{10}}{2}$，答案是B。
6. (2023·苏州)已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$,则$k^{2}-b^{2}=$
-6
.答案：$-6$
7. (2024·高邮二模)在弹性限度内,一个弹簧秤的弹簧长度$y(\text{cm})$与所挂物体质量$x(\text{kg})$满足一次函数$y = 0.5x + 12$.若在该弹簧秤上挂上物体$A$后弹簧的长度比挂上物体$B$后弹簧的长度长$2.5\ \text{cm}$,则物体$A$比$B$重______
5
$\text{kg}$.答案：5
8. 直线$y = k_{1}x + b_{1}(k_{1}\gt0)$与$y = k_{2}x + b_{2}(k_{2}\lt0)$相交于点$(-4,0)$,且两直线与$y$轴围成的三角形的面积为$10$,那么$b_{2}-b_{1}$的值为
$-5$
.答案：$-5$
9. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,7)$,$B(9,6)$,直线$y = kx(k\neq0)$与线段$AB$有交点,则$k$的取值范围为
$\frac{2}{3}\leqslant k\leqslant \frac{7}{2}$
.答案：$\frac{2}{3}\leqslant k\leqslant \frac{7}{2}$
10. 正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$,正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$,正方形$A_{3}B_{3}C_{3}A_{4}$,$···$按如图所示的方式放置,点$A_{1}$,$A_{2}$,$A_{3}$,$···$和点$B_{1}$,$B_{2}$,$B_{3}$,$···$分别在直线$y = kx + b(k\gt0)$和$x$轴上.已知点$A_{1}(0,1)$,点$B_{1}(1,0)$,则点$C_{3}$的坐标是________
$(47,16)$
.答案：1. 首先求直线$y = kx + b$的解析式：
已知$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，把$A_{1}(0,1)$代入$y = kx + b$得$b = 1$；把$B_{1}(1,0)$代入$y=kx + 1$得$k + 1 = 0$，解得$k=-1$（舍去，因为$k\gt0$），重新分析：
因为$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，$\angle A_{1}B_{1}O = 45^{\circ}$（正方形性质，$\angle A_{1}B_{1}O$与直线$y = kx + b$的倾斜角有关，这里通过正方形边长关系：$A_{1}O = 1$，$B_{1}O = 1$，所以$\angle A_{1}B_{1}O = 45^{\circ}$，则直线$y = kx + b$的斜率$k = 1$，又$b = 1$，所以直线解析式为$y=x + 1$。
2. 然后求$A_{2}$，$B_{2}$，$C_{1}$的坐标：
对于正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$，$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，则$A_{2}(1,2)$（因为$A_{1}A_{2}// x$轴，$A_{1}O = 1$，正方形边长$A_{1}B_{1}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$A_{2}$的纵坐标与$A_{1}$到$B_{1}$的竖直距离有关，$A_{2}$的横坐标与$B_{1}$横坐标相同，$y_{A_{2}}=2$，$x_{A_{2}} = 1$），$C_{1}(2,1)$（$C_{1}$是$A_{1}B_{1}$向右平移$1$个单位，向上平移$1$个单位得到）。
因为$A_{2}(1,2)$，则$B_{2}(3,0)$（$A_{2}$到$B_{2}$的水平距离等于$A_{2}$的纵坐标，由正方形性质，$A_{2}B_{2}$水平长度等于$A_{2}$的纵坐标$2$，$x_{B_{2}}=1 + 2=3$）。
3. 接着求$A_{3}$，$B_{3}$，$C_{2}$的坐标：
对于正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$，$A_{3}(3,4)$（$A_{2}A_{3}// x$轴，$A_{2}$到$A_{3}$的水平距离等于$A_{2}$的纵坐标$2$，$y_{A_{3}}=4$，$x_{A_{3}}=3$），$C_{2}(5,2)$（$C_{2}$是$A_{2}B_{2}$向右平移$2$个单位，向上平移$2$个单位得到）。
4. 最后求$C_{3}$的坐标：
对于正方形$A_{3}B_{3}C_{3}A_{4}$，$B_{3}(7,0)$（$A_{3}$到$B_{3}$的水平距离等于$A_{3}$的纵坐标$4$，$x_{B_{3}}=3 + 4=7$），$C_{3}(11,4)$（$C_{3}$是$A_{3}B_{3}$向右平移$4$个单位，向上平移$4$个单位得到，$x_{C_{3}}=7+4 = 11$，$y_{C_{3}}=4$）。
所以点$C_{3}$的坐标是$(11,4)$。
已知$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，把$A_{1}(0,1)$代入$y = kx + b$得$b = 1$；把$B_{1}(1,0)$代入$y=kx + 1$得$k + 1 = 0$，解得$k=-1$（舍去，因为$k\gt0$），重新分析：
因为$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，$\angle A_{1}B_{1}O = 45^{\circ}$（正方形性质，$\angle A_{1}B_{1}O$与直线$y = kx + b$的倾斜角有关，这里通过正方形边长关系：$A_{1}O = 1$，$B_{1}O = 1$，所以$\angle A_{1}B_{1}O = 45^{\circ}$，则直线$y = kx + b$的斜率$k = 1$，又$b = 1$，所以直线解析式为$y=x + 1$。
2. 然后求$A_{2}$，$B_{2}$，$C_{1}$的坐标：
对于正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}$，$A_{1}(0,1)$，$B_{1}(1,0)$，则$A_{2}(1,2)$（因为$A_{1}A_{2}// x$轴，$A_{1}O = 1$，正方形边长$A_{1}B_{1}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$A_{2}$的纵坐标与$A_{1}$到$B_{1}$的竖直距离有关，$A_{2}$的横坐标与$B_{1}$横坐标相同，$y_{A_{2}}=2$，$x_{A_{2}} = 1$），$C_{1}(2,1)$（$C_{1}$是$A_{1}B_{1}$向右平移$1$个单位，向上平移$1$个单位得到）。
因为$A_{2}(1,2)$，则$B_{2}(3,0)$（$A_{2}$到$B_{2}$的水平距离等于$A_{2}$的纵坐标，由正方形性质，$A_{2}B_{2}$水平长度等于$A_{2}$的纵坐标$2$，$x_{B_{2}}=1 + 2=3$）。
3. 接着求$A_{3}$，$B_{3}$，$C_{2}$的坐标：
对于正方形$A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}$，$A_{3}(3,4)$（$A_{2}A_{3}// x$轴，$A_{2}$到$A_{3}$的水平距离等于$A_{2}$的纵坐标$2$，$y_{A_{3}}=4$，$x_{A_{3}}=3$），$C_{2}(5,2)$（$C_{2}$是$A_{2}B_{2}$向右平移$2$个单位，向上平移$2$个单位得到）。
4. 最后求$C_{3}$的坐标：
对于正方形$A_{3}B_{3}C_{3}A_{4}$，$B_{3}(7,0)$（$A_{3}$到$B_{3}$的水平距离等于$A_{3}$的纵坐标$4$，$x_{B_{3}}=3 + 4=7$），$C_{3}(11,4)$（$C_{3}$是$A_{3}B_{3}$向右平移$4$个单位，向上平移$4$个单位得到，$x_{C_{3}}=7+4 = 11$，$y_{C_{3}}=4$）。
所以点$C_{3}$的坐标是$(11,4)$。