11. (2023·北京)在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$A(0,1)$和$B(1,2)$,与过点$(0,4)$且平行于$x$轴的直线交于点$C$.
(1)求该函数的表达式及点$C$的坐标;该函数的表达式为
(2)当$x\lt3$时,对于$x$的每一个值,函数$y=\frac{2}{3}x + n$的值大于函数$y = kx + b(k\neq0)$的值且小于$4$,直接写出$n$的值.
(1)求该函数的表达式及点$C$的坐标;该函数的表达式为
$y=x+1$
，点$C$的坐标为$(3,4)$
(2)当$x\lt3$时,对于$x$的每一个值,函数$y=\frac{2}{3}x + n$的值大于函数$y = kx + b(k\neq0)$的值且小于$4$,直接写出$n$的值.
2
答案：解：(1) 把$A(0,1)$，$B(1,2)$代入$y=kx+b(k\neq 0)$，得$\left\{\begin{array}{l} b=1\\ k+b=2\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k=1\\ b=1\end{array}\right. $
$∴$该函数的表达式为$y=x+1$．
由题意知点$C$的纵坐标为$4$，当$y=4$时，$x+1=4$，解得$x=3$，$∴C(3,4)$．
(2)$n$的值为$2$．
$∴$该函数的表达式为$y=x+1$．
由题意知点$C$的纵坐标为$4$，当$y=4$时，$x+1=4$，解得$x=3$，$∴C(3,4)$．
(2)$n$的值为$2$．
12. (2024·南京模拟)一个现有水量为$15\ \text{m}^{3}$的水池,有一个进水管和一个出水管,单位时间内进水量和出水量都是一定的.若只打开进水管,水量$y(\text{m}^{3})$与时间$t(\text{h})$之间的关系如图①中$y_{1}$,若只打开出水管,水量$y(\text{m}^{3})$与时间$t(\text{h})$之间的关系如图①中$y_{2}$.
(1)进水管每小时的进水量为______$\text{m}^{3}$,出水管每小时的出水量为______$\text{m}^{3}$.
(2)若前$4$个小时,水池只进水不出水,接下来的$4$个小时既进水又出水,再接下来的$2$个小时只出水不进水.
①请在图②中画出水量$y$与时间$t$之间的函数图象;
②当水池的水量不小于$38\ \text{m}^{3}$时,求$t$的取值范围.
(1)进水管每小时的进水量为______$\text{m}^{3}$,出水管每小时的出水量为______$\text{m}^{3}$.
(2)若前$4$个小时,水池只进水不出水,接下来的$4$个小时既进水又出水,再接下来的$2$个小时只出水不进水.
①请在图②中画出水量$y$与时间$t$之间的函数图象;
②当水池的水量不小于$38\ \text{m}^{3}$时,求$t$的取值范围.
答案：
(1) 5 3
(2) 解：①根据题意，当$t=0$时，$y=15$；当$t=4$时，$y=15+4\times 5=35$；当$t=8$时，$y=35+(5-3)\times 4=43$；当$t=10$时，$y=43-3\times 2=37$．
$∴$水量$y$与时间$t$之间的函数图象经过点$(0,15)$，$(4,35)$，$(8,43)$，$(10,37)$，画出图象如答图．
②当$4\leqslant t\leqslant 8$时，若水池的水量为$38m^{3}$，则$t=4+(38-35)\div (5-3)=\frac {11}{2}$；
当$8\lt t\leqslant 10$时，若水池的水量为$38m^{3}$，则$t=8+(43-38)\div 3=\frac {29}{3}$．
$∴$由图可知，当水池的水量不小于$38m^{3}$时，$t$的取值范围是$\frac{11}{2}\leqslant t\leqslant \frac{29}{3}$．
(1) 5 3
(2) 解：①根据题意，当$t=0$时，$y=15$；当$t=4$时，$y=15+4\times 5=35$；当$t=8$时，$y=35+(5-3)\times 4=43$；当$t=10$时，$y=43-3\times 2=37$．
$∴$水量$y$与时间$t$之间的函数图象经过点$(0,15)$，$(4,35)$，$(8,43)$，$(10,37)$，画出图象如答图．
②当$4\leqslant t\leqslant 8$时，若水池的水量为$38m^{3}$，则$t=4+(38-35)\div (5-3)=\frac {11}{2}$；
当$8\lt t\leqslant 10$时，若水池的水量为$38m^{3}$，则$t=8+(43-38)\div 3=\frac {29}{3}$．
$∴$由图可知，当水池的水量不小于$38m^{3}$时，$t$的取值范围是$\frac{11}{2}\leqslant t\leqslant \frac{29}{3}$．
13. 如图,已知直线$y=\frac{4}{3}x + 8$与两坐标轴分别交于点$A$,$B$,与直线$y = - 2x$交于点$C$,$M$是直线$y=\frac{4}{3}x + 8$上的动点,点$M$的横坐标为$m$,过点$M$作$y$轴的平行线,交直线$y = - 2x$于点$N$.
(1)①若$MN = 6$,求$m$的值;
②点$P(3s,4s + 3)$是平面内一动点,求线段$PM$的最小值.
(2)若点$D(2t - 2,t + 3)$在$\triangle OBC$的内部(不包括边界),求$t$的取值范围.
(1)①若$MN = 6$,求$m$的值;
$m=-\frac {3}{5}$或$m=-\frac {21}{5}$
②点$P(3s,4s + 3)$是平面内一动点,求线段$PM$的最小值.
$3$
(2)若点$D(2t - 2,t + 3)$在$\triangle OBC$的内部(不包括边界),求$t$的取值范围.
$-\frac {7}{5}\lt t＜\frac {1}{5}$
答案：解：(1) ①由题意得$M(m,\frac {4}{3}m+8)$，$N(m,-2m)$，
$∴MN=|\frac {4}{3}m+8-(-2m)|=|\frac {10}{3}m+8|$，$∵MN=6$，
$∴|\frac {10}{3}m+8|=6$，解得$m=-\frac {3}{5}$或$m=-\frac {21}{5}$．
②$∵$点$P(3s,4s+3)$是直线$y=\frac {4}{3}x+3$上的点，$M$是直线$y=\frac {4}{3}x+8$上的点，且直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$平行，
$∴$线段$PM$的最小值就是直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$之间的距离，
$∵$直线$y=\frac {4}{3}x+8$与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，
$∴A(0,8)$，$B(-6,0)$，$∴OA=8$，$OB=6$，
$∴AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}=10$，
设原点到$AB$的距离为$h$，则$S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}AB\cdot h=\frac {1}{2}OA\cdot OB$，$∴h=4.8$．
同理可得原点到直线$y=\frac {4}{3}x+3$的距离为$1.8$，
$∴$直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$之间的距离为$3$，
$∴$线段$PM$的最小值为$3$．
(2) 由题意得，点$D(2t-2,t+3)$是直线$y=\frac {1}{2}x+4$上的动点，
由$\left\{\begin{array}{l} y=-2x\\ y=\frac {1}{2}x+4\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-\frac {8}{5}\\ y=\frac {16}{5}\end{array}\right. $
由$\left\{\begin{array}{l} y=\frac {4}{3}x+8\\ y=\frac {1}{2}x+4\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-\frac {24}{5}\\ y=\frac {8}{5}\end{array}\right. $
$∵$点$D(2t-2,t+3)$在$\triangle OBC$的内部（不包括边界），
$∴-\frac {24}{5}＜2t-2＜-\frac {8}{5}$，解得$-\frac {7}{5}\lt t＜\frac {1}{5}$．
$∴MN=|\frac {4}{3}m+8-(-2m)|=|\frac {10}{3}m+8|$，$∵MN=6$，
$∴|\frac {10}{3}m+8|=6$，解得$m=-\frac {3}{5}$或$m=-\frac {21}{5}$．
②$∵$点$P(3s,4s+3)$是直线$y=\frac {4}{3}x+3$上的点，$M$是直线$y=\frac {4}{3}x+8$上的点，且直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$平行，
$∴$线段$PM$的最小值就是直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$之间的距离，
$∵$直线$y=\frac {4}{3}x+8$与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，
$∴A(0,8)$，$B(-6,0)$，$∴OA=8$，$OB=6$，
$∴AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}=10$，
设原点到$AB$的距离为$h$，则$S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}AB\cdot h=\frac {1}{2}OA\cdot OB$，$∴h=4.8$．
同理可得原点到直线$y=\frac {4}{3}x+3$的距离为$1.8$，
$∴$直线$y=\frac {4}{3}x+3$与直线$y=\frac {4}{3}x+8$之间的距离为$3$，
$∴$线段$PM$的最小值为$3$．
(2) 由题意得，点$D(2t-2,t+3)$是直线$y=\frac {1}{2}x+4$上的动点，
由$\left\{\begin{array}{l} y=-2x\\ y=\frac {1}{2}x+4\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-\frac {8}{5}\\ y=\frac {16}{5}\end{array}\right. $
由$\left\{\begin{array}{l} y=\frac {4}{3}x+8\\ y=\frac {1}{2}x+4\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-\frac {24}{5}\\ y=\frac {8}{5}\end{array}\right. $
$∵$点$D(2t-2,t+3)$在$\triangle OBC$的内部（不包括边界），
$∴-\frac {24}{5}＜2t-2＜-\frac {8}{5}$，解得$-\frac {7}{5}\lt t＜\frac {1}{5}$．