7. 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是（
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
C
）A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
答案：C
8. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动;动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2 cm/s和3 cm/s,两点同时出发并开始计时,当点Q到达终点A时运动停止.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F,设运动时间为t s,则当t=
2或$\frac{14}{5}$
时,△PEC与△QFC全等.答案：2或$\frac{14}{5}$
9. (徐州中考)如图,∠MON=30°,在OM上截取OA₁=√3.过点A₁作A₁B₁⊥OM,交ON于点B₁,以点B₁为圆心,B₁O为半径画弧,交OM于点A₂;过点A₂作A₂B₂⊥OM,交ON于点B₂,以点B₂为圆心,B₂O为半径画弧,交OM于点A₃;……按此规律,所得线段A₂₀B₂₀的长等于
2^{19}
.答案：$ 2^{19} $
10. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,D为线段BE的中点,且AD⊥BE,过点E作EF⊥AE,过点A作AF//BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠EAD=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
(1)求证:∠EAD=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
答案：证明:(1)∵D为线段BE的中点，∴ED=BD,
∵AD⊥BE,∴∠ADE=∠ADB=90°,
在△AED和△ABD中，$\begin{cases} ED = BD, \\ \angle ADE = \angle ADB, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ABD(SAS),∴∠EAD=∠BAD.
(2)由(1)得AB=EA,∠B=∠AEB,∵EF⊥AE,
∴∠BAC=∠AEF=90°,∵AF//BC,
∴∠EAF=∠AEB,∴∠B=∠EAF,
在△ABC和△EAF中,$\begin{cases} \angle B = \angle EAF, \\ AB = EA, \\ \angle BAC = \angle AEF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.
∵AD⊥BE,∴∠ADE=∠ADB=90°,
在△AED和△ABD中，$\begin{cases} ED = BD, \\ \angle ADE = \angle ADB, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ABD(SAS),∴∠EAD=∠BAD.
(2)由(1)得AB=EA,∠B=∠AEB,∵EF⊥AE,
∴∠BAC=∠AEF=90°,∵AF//BC,
∴∠EAF=∠AEB,∴∠B=∠EAF,
在△ABC和△EAF中,$\begin{cases} \angle B = \angle EAF, \\ AB = EA, \\ \angle BAC = \angle AEF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.
11. 如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点P为边BC上一点,BC=3BP,且∠PAB=15°,点C关于直线PA的对称点为D,连接AD,BD,△APC的PC边上的高为AH.
(1)求∠BPD的大小;
(2)判断直线BD,AH是否平行,并说明理由;
(3)证明:∠BAP=∠CAH.
(1)求∠BPD的大小;
(2)判断直线BD,AH是否平行,并说明理由;
(3)证明:∠BAP=∠CAH.
答案：
(1)解:∵∠PAB=15°,∠ABC=45°,
∴∠APC=15°+45°=60°,
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD=PC,AD=AC,
∴△ADP≌△ACP,∴∠APC=∠APD=60°,
∴∠BPD=180°−120°=60°.
(2)解:直线BD,AH平行.理由:∵BC=3BP,
∴BP=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$PD,
如答图①,取PD的中点E,连接BE,则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP=60°,∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BEP=30°,
∴∠DBP=90°,即BD⊥BC;
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC,∴BD//AH.
(3)证明:如答图②，过点A作AG⊥BD,交BD的延长线于点G,作AF⊥DP于点F.
∵∠APC=∠APD,即点A在∠DPC的平分线上，∴AH=AF.
∵∠CBD=90°,∠ABC=45°,∴∠GBA=∠CBA=45°,即点A在∠GBC的平分线上，∴AG=AH,∴AG=AF,
∴点A在∠GDP的平分线上.又∵∠BDP=30°,
∴∠GDP=150°,∴∠ADP=$\frac{1}{2}$×150°=75°,
∴∠C=∠ADP=75°,∴Rt△ACH中,∠CAH=15°,∴∠BAP=∠CAH.
(1)解:∵∠PAB=15°,∠ABC=45°,
∴∠APC=15°+45°=60°,
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD=PC,AD=AC,
∴△ADP≌△ACP,∴∠APC=∠APD=60°,
∴∠BPD=180°−120°=60°.
(2)解:直线BD,AH平行.理由:∵BC=3BP,
∴BP=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$PD,
如答图①,取PD的中点E,连接BE,则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP=60°,∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BEP=30°,
∴∠DBP=90°,即BD⊥BC;
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC,∴BD//AH.
(3)证明:如答图②，过点A作AG⊥BD,交BD的延长线于点G,作AF⊥DP于点F.
∵∠APC=∠APD,即点A在∠DPC的平分线上，∴AH=AF.
∵∠CBD=90°,∠ABC=45°,∴∠GBA=∠CBA=45°,即点A在∠GBC的平分线上，∴AG=AH,∴AG=AF,
∴点A在∠GDP的平分线上.又∵∠BDP=30°,
∴∠GDP=150°,∴∠ADP=$\frac{1}{2}$×150°=75°,
∴∠C=∠ADP=75°,∴Rt△ACH中,∠CAH=15°,∴∠BAP=∠CAH.