7. （2024春·南通期末）如图，$\triangle ABC$中，$\angle A = 24^{\circ}$，$\triangle DEF$中，$\angle F = 66^{\circ}$，$BC$，$EF$边上的高相等，若$AC = DF$，则$\angle B$的度数为（
A. $30^{\circ}$
B. $42^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$
B
）A. $30^{\circ}$
B. $42^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$
答案：B
8. （2023秋·仪征期末）如图，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$为$AB$上一点，且$BD = BC$，过点$D$作$DE\perp AB$交$AC$于点$E$，若$DE = 2$，$AC = 5$，则$AE$的长为______
3
.答案：3
9. 如图，已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CA = CB$，$D$是$AC$上一点，$E$在$BC$的延长线上，且$AE = BD$，$BD$的延长线与$AE$交于点$F$. 试通过观察、测量、猜想等方法来探索$BF$与$AE$有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
解：猜想：
理由：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD = 90^{\circ}$。
又 $ BC = AC $，$ BD = AE $，
$\therefore Rt\triangle BDC \cong Rt\triangle AEC$(
$\therefore \angle CBD = \angle CAE$。
又 $\angle CAE + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EBF + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BFE = 90^{\circ}$，即 $ BF \perp AE $。
解：猜想：
$ BF \perp AE $
。理由：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD = 90^{\circ}$。
又 $ BC = AC $，$ BD = AE $，
$\therefore Rt\triangle BDC \cong Rt\triangle AEC$(
HL
)，$\therefore \angle CBD = \angle CAE$。
又 $\angle CAE + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EBF + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BFE = 90^{\circ}$，即 $ BF \perp AE $。
答案：解：猜想：$ BF \perp AE $。
理由：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD = 90^{\circ}$。
又 $ BC = AC $，$ BD = AE $，
$\therefore Rt\triangle BDC \cong Rt\triangle AEC(HL)$，
$\therefore \angle CBD = \angle CAE$。
又 $\angle CAE + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EBF + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BFE = 90^{\circ}$，即 $ BF \perp AE $。
理由：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD = 90^{\circ}$。
又 $ BC = AC $，$ BD = AE $，
$\therefore Rt\triangle BDC \cong Rt\triangle AEC(HL)$，
$\therefore \angle CBD = \angle CAE$。
又 $\angle CAE + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EBF + \angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BFE = 90^{\circ}$，即 $ BF \perp AE $。
10. （2024·苏州模拟）已知点$C$为直线$AB$上一点，点$D$为直线$AB$外一点，分别以$CA$，$CB$为边在$AB$的同侧作$\triangle ACD$和$\triangle CEB$，且$CA = CD$，$CB = CE$，$\angle ACD=\angle BCE=\alpha$，直线$AE$与直线$BD$交于点$F$.
（1）如图①，若$\alpha = 90^{\circ}$，且$E$在$CD$上，求证$AE = DB$，并求$\angle AFB$的度数；
（2）如图②，若$\alpha＞90^{\circ}$，求$\angle AFB$的度数.（用含$\alpha$的式子表示）
（1）证明：在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle DCB$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} CA = CD, \\ \angle ACD = \angle BCE, \\ CE = CB, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，
$\therefore AE = DB$，$\angle AEC = \angle DBC$。
$\because \angle AEC + \angle EAC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB =$
（2）$\angle AFB =$
（1）如图①，若$\alpha = 90^{\circ}$，且$E$在$CD$上，求证$AE = DB$，并求$\angle AFB$的度数；
（2）如图②，若$\alpha＞90^{\circ}$，求$\angle AFB$的度数.（用含$\alpha$的式子表示）
（1）证明：在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle DCB$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} CA = CD, \\ \angle ACD = \angle BCE, \\ CE = CB, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，
$\therefore AE = DB$，$\angle AEC = \angle DBC$。
$\because \angle AEC + \angle EAC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB =$
$90^{\circ}$
。（2）$\angle AFB =$
$180^{\circ} - \alpha$
。答案：解：(1) 在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle DCB$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} CA = CD, \\ \angle ACD = \angle BCE, \\ CE = CB, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，
$\therefore AE = DB$，$\angle AEC = \angle DBC$。
$\because \angle AEC + \angle EAC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。
(2) $\because \angle ACD = \angle BCE$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD$，
$\because AC = CD$，$ CE = CB $，
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，$\therefore \angle AEC = \angle DBC$，
$\because \angle AEC + \angle FEC = 180^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle FEC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB + \angle BCE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle AFB = 180^{\circ} - \alpha$。
$\left\{\begin{array}{l} CA = CD, \\ \angle ACD = \angle BCE, \\ CE = CB, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，
$\therefore AE = DB$，$\angle AEC = \angle DBC$。
$\because \angle AEC + \angle EAC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。
(2) $\because \angle ACD = \angle BCE$，$\therefore \angle ACE = \angle BCD$，
$\because AC = CD$，$ CE = CB $，
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS)$，$\therefore \angle AEC = \angle DBC$，
$\because \angle AEC + \angle FEC = 180^{\circ}$，$\therefore \angle DBC + \angle FEC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB + \angle BCE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle AFB = 180^{\circ} - \alpha$。
11. 如图，$CA\perp AB$，垂足为$A$，$AB = 8cm$，$AC = 4cm$，射线$BM\perp AB$，垂足为$B$，一动点$E$从点$A$出发以$2cm/s$的速度沿射线$AN$运动，点$D$为射线$BM$上一动点，随着点$E$的运动而运动，且始终保持$ED = CB$. 当点$E$离开点$A$后，运动
2 s 或 6 s 或 8 s
时，$\triangle DEB$与$\triangle BCA$全等？答案：解：① 当点 $ E $ 在线段 $ AB $ 上，$ AC = BE $ 时，
$\triangle ACB \cong \triangle BED$，
$\because AC = 4\ cm$，
$\therefore BE = 4\ cm$，$\therefore AE = 8 - 4 = 4(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 4 \div 2 = 2(s) $；
② 当点 $ E $ 在 $ BN $ 上，$ AC = BE $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BED$，
$\because AC = 4\ cm$，
$\therefore BE = 4\ cm$，$\therefore AE = 8 + 4 = 12(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 12 \div 2 = 6(s) $；
③ 当点 $ E $ 在线段 $ AB $ 上，$ AB = EB $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BDE$，
这时点 $ E $ 在点 $ A $ 未动，不满足题意；
④ 当点 $ E $ 在 $ BN $ 上，$ AB = EB $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BDE$，
$\therefore BE = AB = 8\ cm$，$\therefore AE = 8 + 8 = 16(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 16 \div 2 = 8(s) $。
故当点 $ E $ 离开点 $ A $ 后，运动 $ 2\ s $ 或 $ 6\ s $ 或 $ 8\ s $ 时，$\triangle DEB$ 与 $\triangle BCA$ 全等。
$\triangle ACB \cong \triangle BED$，
$\because AC = 4\ cm$，
$\therefore BE = 4\ cm$，$\therefore AE = 8 - 4 = 4(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 4 \div 2 = 2(s) $；
② 当点 $ E $ 在 $ BN $ 上，$ AC = BE $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BED$，
$\because AC = 4\ cm$，
$\therefore BE = 4\ cm$，$\therefore AE = 8 + 4 = 12(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 12 \div 2 = 6(s) $；
③ 当点 $ E $ 在线段 $ AB $ 上，$ AB = EB $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BDE$，
这时点 $ E $ 在点 $ A $ 未动，不满足题意；
④ 当点 $ E $ 在 $ BN $ 上，$ AB = EB $ 时，$\triangle ACB \cong \triangle BDE$，
$\therefore BE = AB = 8\ cm$，$\therefore AE = 8 + 8 = 16(cm)$，
$\therefore$ 点 $ E $ 的运动时间为 $ 16 \div 2 = 8(s) $。
故当点 $ E $ 离开点 $ A $ 后，运动 $ 2\ s $ 或 $ 6\ s $ 或 $ 8\ s $ 时，$\triangle DEB$ 与 $\triangle BCA$ 全等。