1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，连接$AE$。若$AE = 4$，$EC = 2$，则$BC$的长是（
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
C
）A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：C
2. 如图，已知$AC = AD$，$BC = BD$，则（
A. $CD$平分$\angle ACB$
B. $CD$垂直平分$AB$
C. $CD$与$AB$互相垂直平分
D. $AB$垂直平分$CD$
D
）A. $CD$平分$\angle ACB$
B. $CD$垂直平分$AB$
C. $CD$与$AB$互相垂直平分
D. $AB$垂直平分$CD$
答案：D
3. (2024·凉山州)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$，若$\triangle ACD$的周长为$50cm$，则$AC + BC =$______
50cm
。答案：50cm
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$F$，若$AB = 5$，$AC = 7$，$BC = 10$，则$\triangle AEF$的周长为
10
。答案：10
5. 如图，$A$，$B$，$C$三点表示三个村庄的地理位置。现三个村庄要合办一个自来水厂，要求自来水厂到这三个村庄的距离相等。请你设计出自来水厂$O$点的位置，并说明理由。(尺规作图)
答案：
解:如答图,
连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线，两线交于点O,连接OA,OB,OC.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得$OA = OB = OC$。
解:如答图,
连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线，两线交于点O,连接OA,OB,OC.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得$OA = OB = OC$。
6. (2024·姜堰区月考)如图，在$\triangle ABC$中，$BD$是$\triangle ABC$的中线，$EF$是$BC$边的垂直平分线，且$BD$与$EF$相交于点$G$，连接$AG$，$CG$，若四边形$CDGE$与四边形$ACEG$的面积分别为$7$和$11$，则$\triangle ABC$的面积为（
A. 18
B. 20
C. 22
D. 36
B
）A. 18
B. 20
C. 22
D. 36
答案：B
7. (2024春·相城区月考)如图，线段$AB$，$BC$的垂直平分线$l_{1}$，$l_{2}$相交于点$O$。若$\angle 1 = 39^{\circ}$，则$\angle AOC =$______
78°
。答案：$78^{\circ}$
8. 如图，$MN$是线段$AD$的垂直平分线，$BD$交$MN$于点$C$，点$E$在$MN$上，连接$AC$，$AE$，$BE$。
求证：$AC + BC ＜ AE + BE$。(提示：连接$DE$)
求证：$AC + BC ＜ AE + BE$。(提示：连接$DE$)
答案：
证明:如答图，连接DE.
∵ MN是线段AD的垂直平分线，
∴ $CA = CD$，$EA = ED$，
在$\triangle BDE$中，$DB ＜ ED + BE$，
即$AC + BC ＜ AE + BE$。
证明:如答图，连接DE.
∵ MN是线段AD的垂直平分线，
∴ $CA = CD$，$EA = ED$，
在$\triangle BDE$中，$DB ＜ ED + BE$，
即$AC + BC ＜ AE + BE$。