9. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle BCD$中，$AB = CD$，线段$AC$的垂直平分线与线段$BD$的垂直平分线相交于点$E$，连接$BE$，$DE$。求证：$\angle ABE = \angle CDE$。
答案：
证明:如答图,连接AE,CE;
∵ AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴ $AE = CE$，$BE = DE$；
在$\triangle ABE$和$\triangle CDE$中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CD, } \\ { AE = CE, } \\ { BE = DE, } \end{array} \right.$
∴ $\triangle ABE \cong \triangle CDE (SSS)$，
∴ $ \angle ABE = \angle CDE $。
证明:如答图,连接AE,CE;
∵ AC,BD的垂直平分线相交于点E,
∴ $AE = CE$，$BE = DE$；
在$\triangle ABE$和$\triangle CDE$中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CD, } \\ { AE = CE, } \\ { BE = DE, } \end{array} \right.$
∴ $\triangle ABE \cong \triangle CDE (SSS)$，
∴ $ \angle ABE = \angle CDE $。
10. 如图，在$\triangle ABC$中，边$AB$，$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D$，$E$，连接$AD$，$AE$。
(1)若$BC = 10$，求$\triangle ADE$的周长。
(2)设直线$DM$，$EN$交于点$O$，连接$OB$，$OC$。
①试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，并说明理由；
②若$\angle BAC = 100^{\circ}$，求$\angle BOC$的度数。
(1)若$BC = 10$，求$\triangle ADE$的周长。
(2)设直线$DM$，$EN$交于点$O$，连接$OB$，$OC$。
①试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，并说明理由；
②若$\angle BAC = 100^{\circ}$，求$\angle BOC$的度数。
答案：
解:(1)∵ AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴ $AD = BD$，$AE = CE$，
∴ $\triangle ADE$的周长$ = AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC = 10$。
(2)① 点O在BC的垂直平分线上。
理由:如答图，补全图形，连接AO.
∵ DM,EN分别是AB,AC的垂直平分线，
∴ $AO = BO$，$OA = OC$，∴ $OB = OC$，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
② ∵ $OM \perp AB$，$ON \perp AC$，∴ $ \angle AMO = \angle ANO = 90 ^ { \circ }$。
由题意知$ \angle AOM = \angle BOM$，$ \angle AON = \angle CON$，
∴ $ \angle BOC = 2 \angle MON$。
∵ $ \angle BAC = 100 ^ { \circ }$，
∴ $ \angle MON = 360 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 100 ^ { \circ } = 80 ^ { \circ }$，
∴ $ \angle BOC = 2 \angle MON = 160 ^ { \circ }$。
解:(1)∵ AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴ $AD = BD$，$AE = CE$，
∴ $\triangle ADE$的周长$ = AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC = 10$。
(2)① 点O在BC的垂直平分线上。
理由:如答图，补全图形，连接AO.
∵ DM,EN分别是AB,AC的垂直平分线，
∴ $AO = BO$，$OA = OC$，∴ $OB = OC$，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
② ∵ $OM \perp AB$，$ON \perp AC$，∴ $ \angle AMO = \angle ANO = 90 ^ { \circ }$。
由题意知$ \angle AOM = \angle BOM$，$ \angle AON = \angle CON$，
∴ $ \angle BOC = 2 \angle MON$。
∵ $ \angle BAC = 100 ^ { \circ }$，
∴ $ \angle MON = 360 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 100 ^ { \circ } = 80 ^ { \circ }$，
∴ $ \angle BOC = 2 \angle MON = 160 ^ { \circ }$。