9. 如图,数轴上表示$1,\sqrt {5}$的点分别为 A,B,且点 A 为线段 BC 的中点,则点 C 表示的数是 (
A.$\sqrt {5}-1$
B.$1-\sqrt {5}$
C.$\sqrt {5}-2$
D.$2-\sqrt {5}$
D
)A.$\sqrt {5}-1$
B.$1-\sqrt {5}$
C.$\sqrt {5}-2$
D.$2-\sqrt {5}$
答案：D
10. (2024·邗江区期末)比较大小:$\sqrt {3}$
＜
$π-1$.(用“＞”“＜”或“=”填空)答案：＜
11. (2024·河北)已知 a,b,n 均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt {10}＜n+1$,则$n=$
(2)若$n-1＜\sqrt {a}＜n,n＜\sqrt {b}＜n+1$,则满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少
(1)若$n＜\sqrt {10}＜n+1$,则$n=$
3
;(2)若$n-1＜\sqrt {a}＜n,n＜\sqrt {b}＜n+1$,则满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少
2
个.答案：1. （1）
因为$9\lt10\lt16$，根据$\sqrt{m^2}=|m|$（$m$为实数），可得$\sqrt{9}\lt\sqrt{10}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{10}\lt4$。
又因为$n\lt\sqrt{10}\lt n + 1$（$n$为正整数），所以$n = 3$。
2. （2）
因为$n-1\lt\sqrt{a}\lt n$（$a$，$n$为正整数），两边同时平方得$(n - 1)^2\lt a\lt n^2$，那么$a$的个数为$n^2-(n - 1)^2-1$。
根据完全平方公式$(m - p)^2=m^2-2mp + p^2$，$n^2-(n - 1)^2-1=n^2-(n^2-2n + 1)-1$。
去括号得$n^2-(n^2-2n + 1)-1=n^2 - n^2+2n - 1 - 1=2n-2$。
因为$n\lt\sqrt{b}\lt n + 1$（$b$，$n$为正整数），两边同时平方得$n^2\lt b\lt(n + 1)^2$，那么$b$的个数为$(n + 1)^2-n^2-1$。
根据完全平方公式$(m + p)^2=m^2+2mp + p^2$，$(n + 1)^2-n^2-1=(n^2+2n + 1)-n^2-1$。
去括号得$(n^2+2n + 1)-n^2-1=n^2+2n + 1 - n^2-1=2n$。
则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少：$2n-(2n - 2)=2$个。
故答案依次为：（1）$3$；（2）$2$。
因为$9\lt10\lt16$，根据$\sqrt{m^2}=|m|$（$m$为实数），可得$\sqrt{9}\lt\sqrt{10}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{10}\lt4$。
又因为$n\lt\sqrt{10}\lt n + 1$（$n$为正整数），所以$n = 3$。
2. （2）
因为$n-1\lt\sqrt{a}\lt n$（$a$，$n$为正整数），两边同时平方得$(n - 1)^2\lt a\lt n^2$，那么$a$的个数为$n^2-(n - 1)^2-1$。
根据完全平方公式$(m - p)^2=m^2-2mp + p^2$，$n^2-(n - 1)^2-1=n^2-(n^2-2n + 1)-1$。
去括号得$n^2-(n^2-2n + 1)-1=n^2 - n^2+2n - 1 - 1=2n-2$。
因为$n\lt\sqrt{b}\lt n + 1$（$b$，$n$为正整数），两边同时平方得$n^2\lt b\lt(n + 1)^2$，那么$b$的个数为$(n + 1)^2-n^2-1$。
根据完全平方公式$(m + p)^2=m^2+2mp + p^2$，$(n + 1)^2-n^2-1=(n^2+2n + 1)-n^2-1$。
去括号得$(n^2+2n + 1)-n^2-1=n^2+2n + 1 - n^2-1=2n$。
则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少：$2n-(2n - 2)=2$个。
故答案依次为：（1）$3$；（2）$2$。
12. 已知 a,b 都是有理数,且$(\sqrt {3}-1)a+2b=\sqrt {3}+3$,求$a+b$的平方根.
答案：解：$ \because (\sqrt{3} - 1)a + 2b = \sqrt{3} + 3 $，$ \therefore \sqrt{3}a - a + 2b = \sqrt{3} + 3 $。
$ \because a $，$ b $ 都是有理数，
$ \therefore \sqrt{3}a = \sqrt{3} $，$ -a + 2b = 3 $，解得 $ a = 1 $，$ b = 2 $，
$ \therefore a + b = 3 $，$ \therefore a + b $ 的平方根是 $ \pm \sqrt{3} $。
$ \because a $，$ b $ 都是有理数，
$ \therefore \sqrt{3}a = \sqrt{3} $，$ -a + 2b = 3 $，解得 $ a = 1 $，$ b = 2 $，
$ \therefore a + b = 3 $，$ \therefore a + b $ 的平方根是 $ \pm \sqrt{3} $。
13. 阅读材料:$\because \sqrt {4}＜\sqrt {7}＜\sqrt {9}$,即$2＜\sqrt {7}＜3,\therefore \sqrt {7}$的整数部分为 2,小数部分为$\sqrt {7}-2$.
请你根据上述材料,解答下面的问题:
如果$\sqrt {5}$的小数部分为 a,$\sqrt {13}$的整数部分为 b,求$a+b-\sqrt {5}$的平方根.
请你根据上述材料,解答下面的问题:
如果$\sqrt {5}$的小数部分为 a,$\sqrt {13}$的整数部分为 b,求$a+b-\sqrt {5}$的平方根.
答案：解：$ \because \sqrt{5} $ 的整数部分是 2，$ \therefore \sqrt{5} $ 的小数部分 $ a = \sqrt{5} - 2 $。
又 $ \sqrt{13} $ 的整数部分 $ b = 3 $，$ \therefore a + b - \sqrt{5} = 1 $，
$ \therefore a + b - \sqrt{5} $ 的平方根是 $ \pm 1 $。
又 $ \sqrt{13} $ 的整数部分 $ b = 3 $，$ \therefore a + b - \sqrt{5} = 1 $，
$ \therefore a + b - \sqrt{5} $ 的平方根是 $ \pm 1 $。
14. (2024 春·鼓楼区月考)数学课上,老师出了一道题:比较$\frac {\sqrt {19}-2}{3}$与$\frac {2}{3}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt {19}＞4$,所以$\sqrt {19}-2$
小英的方法:
$\frac {\sqrt {19}-2}{3}-\frac {2}{3}=\frac {\sqrt {19}-4}{3}$,因为$19＞4^{2}=16$,所以$\sqrt {19}-4$
所以$\frac {\sqrt {19}-2}{3}$
(1)根据上述材料填空;
(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较$\frac {\sqrt {6}-1}{4}$与$\frac {1}{2}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt {19}＞4$,所以$\sqrt {19}-2$
＞
2,所以$\frac {\sqrt {19}-2}{3}$＞
$\frac {2}{3}$;(填“＞”或“＜”)小英的方法:
$\frac {\sqrt {19}-2}{3}-\frac {2}{3}=\frac {\sqrt {19}-4}{3}$,因为$19＞4^{2}=16$,所以$\sqrt {19}-4$
＞
0,所以$\frac {\sqrt {19}-4}{3}$＞
0,所以$\frac {\sqrt {19}-2}{3}$
＞
$\frac {2}{3}$.(填“＞”或“＜”)(1)根据上述材料填空;
(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较$\frac {\sqrt {6}-1}{4}$与$\frac {1}{2}$的大小.
答案：(1) ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
(2) 解：选择小华的方法。
$ \because \sqrt{6} ＜ 3 $，$ \therefore \sqrt{6} - 1 ＜ 2 $，
$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 1}{4} ＜ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $。
选择小英的方法。$ \frac{\sqrt{6} - 1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - 1 - 2}{4} = \frac{\sqrt{6} - 3}{4} $，
$ \because 6 ＜ 9 $，$ \therefore \sqrt{6} ＜ 3 $，$ \therefore \sqrt{6} - 3 ＜ 0 $，
$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 3}{4} ＜ 0 $，$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 1}{4} ＜ \frac{1}{2} $。
(2) 解：选择小华的方法。
$ \because \sqrt{6} ＜ 3 $，$ \therefore \sqrt{6} - 1 ＜ 2 $，
$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 1}{4} ＜ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $。
选择小英的方法。$ \frac{\sqrt{6} - 1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - 1 - 2}{4} = \frac{\sqrt{6} - 3}{4} $，
$ \because 6 ＜ 9 $，$ \therefore \sqrt{6} ＜ 3 $，$ \therefore \sqrt{6} - 3 ＜ 0 $，
$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 3}{4} ＜ 0 $，$ \therefore \frac{\sqrt{6} - 1}{4} ＜ \frac{1}{2} $。