2. 反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,再推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数时,先假设 $ \sqrt{2} $ 是有理数,写成 $ \frac{m}{n} $ (m,n 是正整数,且没有大于 1 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的方法,用反证法证明 $ \sqrt{2} - 1 $ 也是无理数吗? 请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了 $ \sqrt{2} $ 和 $ \sqrt{2} - 1 $,你还能想到哪些数? 可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数. 选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,再推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数时,先假设 $ \sqrt{2} $ 是有理数,写成 $ \frac{m}{n} $ (m,n 是正整数,且没有大于 1 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的方法,用反证法证明 $ \sqrt{2} - 1 $ 也是无理数吗? 请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了 $ \sqrt{2} $ 和 $ \sqrt{2} - 1 $,你还能想到哪些数? 可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数. 选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
答案：(1) 解：反证法的证明步骤：
第一步：提出反设，即假设要证明的结论不成立，也就是假设原命题的反面成立。
第二步：进行推理，根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理。
第三步：推出矛盾，在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果。
第四步：得出结论，由于出现矛盾，说明假设不成立，从而证明原命题成立。
(2) 证明：假设 $ \sqrt{2} - 1 $ 不是无理数，那么 $ \sqrt{2} - 1 $ 是有理数，所以 $ \sqrt{2} - 1 $ 可以写成 $ \frac{p}{q} $（$ p $，$ q $ 是正整数，且没有大于 $ 1 $ 的公约数），
则 $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} + 1 = \frac{p + q}{q} $。
因为 $ p $，$ q $ 是正整数，所以 $ \frac{p + q}{q} $ 是有理数，这与已知 $ \sqrt{2} $ 是无理数相矛盾。
因此，$ \sqrt{2} - 1 $ 不是有理数，它是无理数。
(3) 解：(答案不唯一) 探究 $ \sqrt{3} $。
假设 $ \sqrt{3} $ 不是无理数，那么 $ \sqrt{3} $ 是有理数，所以 $ \sqrt{3} $ 可以写成 $ \frac{a}{b} $（$ a $，$ b $ 是正整数，且没有大于 $ 1 $ 的公约数）。
根据平方根的意义，得 $ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 3 $，即 $ \frac{a^2}{b^2} = 3 $，$ 3b^2 = a^2 $。
因为 $ 3b^2 $ 是 $ 3 $ 的倍数，所以 $ a^2 $ 是 $ 3 $ 的倍数，从而可知 $ a $ 是 $ 3 $ 的倍数，设 $ a = 3c $（$ c $ 是正整数）。
把 $ a = 3c $ 代入 $ 3b^2 = a^2 $，得 $ 3b^2 = 9c^2 $，即 $ b^2 = 3c^2 $，因此 $ b $ 也是 $ 3 $ 的倍数。
于是 $ a $，$ b $ 都是 $ 3 $ 的倍数，这与 $ a $，$ b $ 没有大于 $ 1 $ 的公约数相矛盾。
所以 $ \sqrt{3} = \frac{a}{b} $ 不成立，即 $ \sqrt{3} $ 不是有理数，它是无理数。
第一步：提出反设，即假设要证明的结论不成立，也就是假设原命题的反面成立。
第二步：进行推理，根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理。
第三步：推出矛盾，在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果。
第四步：得出结论，由于出现矛盾，说明假设不成立，从而证明原命题成立。
(2) 证明：假设 $ \sqrt{2} - 1 $ 不是无理数，那么 $ \sqrt{2} - 1 $ 是有理数，所以 $ \sqrt{2} - 1 $ 可以写成 $ \frac{p}{q} $（$ p $，$ q $ 是正整数，且没有大于 $ 1 $ 的公约数），
则 $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} + 1 = \frac{p + q}{q} $。
因为 $ p $，$ q $ 是正整数，所以 $ \frac{p + q}{q} $ 是有理数，这与已知 $ \sqrt{2} $ 是无理数相矛盾。
因此，$ \sqrt{2} - 1 $ 不是有理数，它是无理数。
(3) 解：(答案不唯一) 探究 $ \sqrt{3} $。
假设 $ \sqrt{3} $ 不是无理数，那么 $ \sqrt{3} $ 是有理数，所以 $ \sqrt{3} $ 可以写成 $ \frac{a}{b} $（$ a $，$ b $ 是正整数，且没有大于 $ 1 $ 的公约数）。
根据平方根的意义，得 $ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 3 $，即 $ \frac{a^2}{b^2} = 3 $，$ 3b^2 = a^2 $。
因为 $ 3b^2 $ 是 $ 3 $ 的倍数，所以 $ a^2 $ 是 $ 3 $ 的倍数，从而可知 $ a $ 是 $ 3 $ 的倍数，设 $ a = 3c $（$ c $ 是正整数）。
把 $ a = 3c $ 代入 $ 3b^2 = a^2 $，得 $ 3b^2 = 9c^2 $，即 $ b^2 = 3c^2 $，因此 $ b $ 也是 $ 3 $ 的倍数。
于是 $ a $，$ b $ 都是 $ 3 $ 的倍数，这与 $ a $，$ b $ 没有大于 $ 1 $ 的公约数相矛盾。
所以 $ \sqrt{3} = \frac{a}{b} $ 不成立，即 $ \sqrt{3} $ 不是有理数，它是无理数。