13. 求下列各式的值:
(1) $ \sqrt{1.44} $; (2) $ -\sqrt[3]{0.027} $; (3) $ \sqrt{10^{-6}} $;
(4) $ \sqrt{\frac{9}{64}} $; (5) $ \sqrt{1 + \frac{24}{25}} $; (6) $ -\sqrt[3]{-2 - \frac{10}{27}} $.
(1) $ \sqrt{1.44} $; (2) $ -\sqrt[3]{0.027} $; (3) $ \sqrt{10^{-6}} $;
(4) $ \sqrt{\frac{9}{64}} $; (5) $ \sqrt{1 + \frac{24}{25}} $; (6) $ -\sqrt[3]{-2 - \frac{10}{27}} $.
答案：解：(1)原式$=\sqrt {1.2^{2}}=1.2$。
(2)原式$=-\sqrt [3]{0.3^{3}}=-0.3$。
(3)原式$=10^{-3}=0.001$。
(4)原式$=\sqrt {(\frac {3}{8})^{2}}=\frac {3}{8}$。
(5)原式$=\sqrt {\frac {49}{25}}=\frac {7}{5}$。
(6)原式$=-\sqrt [3]{-\frac {64}{27}}=\frac {4}{3}$。
(2)原式$=-\sqrt [3]{0.3^{3}}=-0.3$。
(3)原式$=10^{-3}=0.001$。
(4)原式$=\sqrt {(\frac {3}{8})^{2}}=\frac {3}{8}$。
(5)原式$=\sqrt {\frac {49}{25}}=\frac {7}{5}$。
(6)原式$=-\sqrt [3]{-\frac {64}{27}}=\frac {4}{3}$。
14. (2024 春·玄武区月考)已知实数 $ m $, $ n $ 满足等式 $ (2m + 4)^2 + \sqrt{4 - n} = 0 $.
(1) 求 $ m $, $ n $ 的值;
(2) 求 $ 3n - 2m $ 的平方根.
(1) 求 $ m $, $ n $ 的值;
(2) 求 $ 3n - 2m $ 的平方根.
答案：解：(1)$\because (2m+4)^{2}+\sqrt {4-n}=0$，
$\therefore 2m+4=0,4-n=0$，
$\therefore m=-2,n=4$。
(2)由(1)知$m=-2,n=4$，
$\therefore 3n-2m=3×4-2×(-2)=16$，
$\therefore 3n-2m$的平方根为$\pm 4$。
$\therefore 2m+4=0,4-n=0$，
$\therefore m=-2,n=4$。
(2)由(1)知$m=-2,n=4$，
$\therefore 3n-2m=3×4-2×(-2)=16$，
$\therefore 3n-2m$的平方根为$\pm 4$。
15. (2024 春·启东期末)阅读下面的文字,解答问题.
现规定:分别用 $ [x] $ 和 $ ＜x＞ $ 表示实数 $ x $ 的整数部分和小数部分,如实数 3.14 的整数部分是 $ [3.14] = 3 $,小数部分是 $ ＜3.14＞ = 0.14 $;实数 $ \sqrt{7} $ 的整数部分是 $ [\sqrt{7}] = 2 $,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即 $ \sqrt{7} - 2 $ 就是 $ \sqrt{7} $ 的小数部分,所以 $ ＜\sqrt{7}＞ = \sqrt{7} - 2 $.
(1) $ [\sqrt{2}] = $
(2) 如果 $ ＜\sqrt{5}＞ = a $, $ [\sqrt{101}] = b $,求 $ a + b - \sqrt{5} $ 的立方根.
(3) 若 $ [\frac{x + 1}{2}] = 2024 $,求 $ x $ 的取值范围.
现规定:分别用 $ [x] $ 和 $ ＜x＞ $ 表示实数 $ x $ 的整数部分和小数部分,如实数 3.14 的整数部分是 $ [3.14] = 3 $,小数部分是 $ ＜3.14＞ = 0.14 $;实数 $ \sqrt{7} $ 的整数部分是 $ [\sqrt{7}] = 2 $,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即 $ \sqrt{7} - 2 $ 就是 $ \sqrt{7} $ 的小数部分,所以 $ ＜\sqrt{7}＞ = \sqrt{7} - 2 $.
(1) $ [\sqrt{2}] = $
1
, $ ＜\sqrt{2}＞ = $$\sqrt{2}-1$
; $ [\sqrt{11}] = $3
, $ ＜\sqrt{11}＞ = $$\sqrt{11}-3$
.(2) 如果 $ ＜\sqrt{5}＞ = a $, $ [\sqrt{101}] = b $,求 $ a + b - \sqrt{5} $ 的立方根.
(3) 若 $ [\frac{x + 1}{2}] = 2024 $,求 $ x $ 的取值范围.
答案：(1)1 $\sqrt {2}-1$ 3 $\sqrt {11}-3$
(2)解：$\because \sqrt {5}$的整数部分是 2，$\sqrt {101}$的整数部分是 10，
$\therefore ＜\sqrt {5}＞=a=\sqrt {5}-2,[\sqrt {101}]=b=10,\therefore a+b-\sqrt {5}=$
$\sqrt {5}-2+10-\sqrt {5}=8$，又$\because 8$的立方根为 2，$\therefore a+b-\sqrt {5}$的
立方根是 2。
(3)$\because [x]$表示实数 x 的整数部分，$[\frac {x+1}{2}]=2024$，
$\therefore 2024≤\frac {x+1}{2}＜2025$，
解得$4047≤x＜4049$。
(2)解：$\because \sqrt {5}$的整数部分是 2，$\sqrt {101}$的整数部分是 10，
$\therefore ＜\sqrt {5}＞=a=\sqrt {5}-2,[\sqrt {101}]=b=10,\therefore a+b-\sqrt {5}=$
$\sqrt {5}-2+10-\sqrt {5}=8$，又$\because 8$的立方根为 2，$\therefore a+b-\sqrt {5}$的
立方根是 2。
(3)$\because [x]$表示实数 x 的整数部分，$[\frac {x+1}{2}]=2024$，
$\therefore 2024≤\frac {x+1}{2}＜2025$，
解得$4047≤x＜4049$。
16. (2024 春·崇川区月考)对于实数 $ a $,我们规定:用符号 $ [\sqrt{a}] $ 表示不大于 $ \sqrt{a} $ 的最大整数,称 $ [\sqrt{a}] $ 为 $ a $ 的根整数,例如: $ [\sqrt{9}] = 3 $, $ [\sqrt{10}] = 3 $, $ [\sqrt{15}] = 3 $.
(1) 仿照以上方法计算: $ [\sqrt{25}] = $
(2) 若 $ [\sqrt{x}] = 3 $,写出满足题意的所有 $ x $ 的整数值:
如果我们对 $ a $ 连续求根整数,直到结果为 1 为止. 例如:对 10 连续求根整数 2 次 $ [\sqrt{10}] = 3 \to [\sqrt{3}] = 1 $,这时候结果为 1.
(3) 对 290 连续求根整数,
(4) 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中,最大的正整数是
(1) 仿照以上方法计算: $ [\sqrt{25}] = $
5
, $ [\sqrt{50}] = $7
;(2) 若 $ [\sqrt{x}] = 3 $,写出满足题意的所有 $ x $ 的整数值:
9，10，11，12，13，14，15
;如果我们对 $ a $ 连续求根整数,直到结果为 1 为止. 例如:对 10 连续求根整数 2 次 $ [\sqrt{10}] = 3 \to [\sqrt{3}] = 1 $,这时候结果为 1.
(3) 对 290 连续求根整数,
4
次之后结果为 1;(4) 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中,最大的正整数是
255
.答案：(1)5 7
(2)9，10，11，12，13，14，15
(3)4 (4)255
(2)9，10，11，12，13，14，15
(3)4 (4)255