8. 若一个直角三角形的两边长分别是$4$，$3$，则第三边长的平方是
25 或 7
．答案：25 或 7
9. (2024 春·南京期末)如图，在线段$AB$上取一点$C$，分别以$AC$，$BC$为直角边作等腰直角三角形$ACD$，等腰直角三角形$CBE$，连接$BD$．若这两个等腰直角三角形的面积和为$11$，$\angle CDB$的面积为$3.5$，则$AB$的长为______
6
．答案：6
10. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD = 8$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 150^{\circ}$，四边形$ABCD$的周长为$32$．
(1)连接$BD$，试判断$\triangle ABD$的形状；
(2)求$BC$的长．
(1)
(2)
(1)连接$BD$，试判断$\triangle ABD$的形状；
(2)求$BC$的长．
(1)
等边三角形
(2)
10
答案：解：(1) $\because AB = AD = 8$，$\angle A = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形。
(2) 由 (1) 知 $\angle ADB = 60^{\circ}$，$\because \angle ADC = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 90^{\circ}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32，$AB = AD = BD = 8$，
$\therefore BC + DC = 16$。
设 $BC = x$，则 $CD = 16 - x$，由勾股定理可知
$x^{2} = (16 - x)^{2} + 8^{2}$，解得 $x = 10$，
$\therefore BC$ 的长为 10。
$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形。
(2) 由 (1) 知 $\angle ADB = 60^{\circ}$，$\because \angle ADC = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 90^{\circ}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 32，$AB = AD = BD = 8$，
$\therefore BC + DC = 16$。
设 $BC = x$，则 $CD = 16 - x$，由勾股定理可知
$x^{2} = (16 - x)^{2} + 8^{2}$，解得 $x = 10$，
$\therefore BC$ 的长为 10。
11. (2023·南京期末)如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$于点$D$，$AB = 17$，$AC = 10$．
(1)若$CD = 6$，则$AD =$
(2)若$BC = 20$，求$CD$的长．
(1)若$CD = 6$，则$AD =$
8
，$BD =$15
；(2)若$BC = 20$，求$CD$的长．
答案：(1) 8 15
(2) 解：设 $CD = x$，则 $BD = 20 - x$，
$\because AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$，$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$，
$\therefore AC^{2} - CD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$，
$\therefore 10^{2} - x^{2} = 17^{2} - (20 - x)^{2}$，
解得 $x = \frac{211}{40}$，$\therefore CD$ 的长为 $\frac{211}{40}$。
(2) 解：设 $CD = x$，则 $BD = 20 - x$，
$\because AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$，$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$，
$\therefore AC^{2} - CD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$，
$\therefore 10^{2} - x^{2} = 17^{2} - (20 - x)^{2}$，
解得 $x = \frac{211}{40}$，$\therefore CD$ 的长为 $\frac{211}{40}$。
12. 观察下列图形，回答问题：
(1)若图①中的$\triangle DEF$为直角三角形，正方形$P$的面积为$9$，正方形$Q$的面积为$15$，求正方形$M$的面积；
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$分别表示三个半圆的面积，求这三个半圆的面积之间的关系；（用$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$表示）
(3)如图③，直角三角形两直角边的长分别为$3$和$4$，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得到的结论求出阴影部分的面积．
(1)若图①中的$\triangle DEF$为直角三角形，正方形$P$的面积为$9$，正方形$Q$的面积为$15$，求正方形$M$的面积；
24
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$分别表示三个半圆的面积，求这三个半圆的面积之间的关系；（用$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$表示）
$S_{1}+S_{2}=S_{3}$
(3)如图③，直角三角形两直角边的长分别为$3$和$4$，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得到的结论求出阴影部分的面积．
6
答案：解：(1) 由题意得 $S_{P} = DE^{2} = 9$，$S_{Q} = EF^{2} = 15$，
故可得 $S_{M} = DF^{2} = DE^{2} + EF^{2} = 24$。
(2) 由题意知 $S_{1} = \frac{\pi}{8}AC^{2}$，$S_{2} = \frac{\pi}{8}BC^{2}$，$S_{3} = \frac{\pi}{8}AB^{2}$，
$\because AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，$\therefore S_{1} + S_{2} = S_{3}$。
(3) 设三个半圆的面积按从小到大排列为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。
由 (2) 知 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$，
则 $S_{阴影} = S_{1} + S_{2} + S_{直角三角形} - S_{3} = S_{直角三角形} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
故可得 $S_{M} = DF^{2} = DE^{2} + EF^{2} = 24$。
(2) 由题意知 $S_{1} = \frac{\pi}{8}AC^{2}$，$S_{2} = \frac{\pi}{8}BC^{2}$，$S_{3} = \frac{\pi}{8}AB^{2}$，
$\because AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，$\therefore S_{1} + S_{2} = S_{3}$。
(3) 设三个半圆的面积按从小到大排列为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。
由 (2) 知 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$，
则 $S_{阴影} = S_{1} + S_{2} + S_{直角三角形} - S_{3} = S_{直角三角形} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。