10.如图,在$\triangle ABC$中,$D$是边$BC$的中点,$E$是边$AC$的中点,连接$AD,BE$.
(1)若$CD=8,CE=6,AB=20$,求证:$\angle C=90^{\circ }$;
证明:∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8,CE=6,
∴AC=2CE=
∵AB=20,∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴△ABC是直角三角形，∴∠C=90°.
(2)若$\angle C=90^{\circ },AD=13,AE=6$,求$\triangle ABC$的面积.
解:∵E是边AC的中点,AE=6,
∴AC=2AE=
在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
∴CD=
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×12×10=
(1)若$CD=8,CE=6,AB=20$,求证:$\angle C=90^{\circ }$;
证明:∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8,CE=6,
∴AC=2CE=
12
,BC=2CD=16
,∵AB=20,∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴△ABC是直角三角形，∴∠C=90°.
(2)若$\angle C=90^{\circ },AD=13,AE=6$,求$\triangle ABC$的面积.
解:∵E是边AC的中点,AE=6,
∴AC=2AE=
12
.在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
∴CD=
5
,∴BC=2CD=10
,∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×12×10=
60
$.答案：(1)证明:∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8,CE=6,
∴AC=2CE=12,BC=2CD=16,
∵AB=20,∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴△ABC是直角三角形，∴∠C=90°.
(2)解:∵E是边AC的中点,AE=6,
∴AC=2AE=12.
在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
∴CD=5,∴BC=2CD=10,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times12\times10=60$.
∴AC=2CE=12,BC=2CD=16,
∵AB=20,∴$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
∴△ABC是直角三角形，∴∠C=90°.
(2)解:∵E是边AC的中点,AE=6,
∴AC=2AE=12.
在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=12,AD=13,
∴CD=5,∴BC=2CD=10,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times12\times10=60$.
11.如图,$AD=8,CD=6,\angle ADC=90^{\circ },AB=26,BC=24$,求该图形的面积.
答案：
解:如答图,连接AC.在Rt△ACD中,AD=8,CD=6,
∴$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=100$,即AC=10.
∵在△ABC中,$AC^{2}+BC^{2}=10^{2}+24^{2}=26^{2}=AB^{2}$,∴△ABC为直角三角形，
∴该图形的面积为
$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times10\times24-\frac{1}{2}\times6\times8=96$.
解:如答图,连接AC.在Rt△ACD中,AD=8,CD=6,
∴$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=100$,即AC=10.
∵在△ABC中,$AC^{2}+BC^{2}=10^{2}+24^{2}=26^{2}=AB^{2}$,∴△ABC为直角三角形，
∴该图形的面积为
$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times10\times24-\frac{1}{2}\times6\times8=96$.
12.如图,P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10.若P'是△ABC外一点,且△P'AB≌△PAC,求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数.
点P与点P'之间的距离为
点P与点P'之间的距离为
6
，∠APB的度数为150°
.答案：解:∵△PAC≌△P'AB,
∴PA=P'A,PC=P'B,∠P'AB=∠PAC,
∴∠P'AP=∠BAC=60°,
∴△APP'为等边三角形,∴PP'=AP=AP'=6.
∵$PP'^{2}+BP^{2}=BP'^{2}$,
∴△BPP'为直角三角形,且∠BPP'=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
∴PA=P'A,PC=P'B,∠P'AB=∠PAC,
∴∠P'AP=∠BAC=60°,
∴△APP'为等边三角形,∴PP'=AP=AP'=6.
∵$PP'^{2}+BP^{2}=BP'^{2}$,
∴△BPP'为直角三角形,且∠BPP'=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
13.王老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | $\cdots$ |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | $\cdots$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | $\cdots$ |
(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示:
$a=$
(2)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形? 并说明理由.
(3)请你观察下列四组勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$,分析其中的规律,直接写出第五组勾股数:
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | $\cdots$ |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | $\cdots$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | $\cdots$ |
(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示:
$a=$
$n^{2}-1$
,$b=$$2n$
,$c=$$n^{2}+1$
.(2)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形? 并说明理由.
(3)请你观察下列四组勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$,分析其中的规律,直接写出第五组勾股数:
$(11,60,61)$
.答案：(1)$n^{2}-1$ 2n $n^{2}+1$
(2)解:猜想:以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
理由:∵$a = n^{2}-1$,$b = 2n$,$c = n^{2}+1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$,∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
(3)(11,60,61)
(2)解:猜想:以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
理由:∵$a = n^{2}-1$,$b = 2n$,$c = n^{2}+1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$,∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
(3)(11,60,61)