24. (6分)实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为$\sqrt {3}$,求代数式$x^{2}+(a+b+cd)x+\sqrt {a+b}+\sqrt [3]{cd}$的值.
答案：解: $\because a, b$ 互为相反数, $c, d$ 互为倒数, $x$ 的绝对值为 $\sqrt{3}$,
$\therefore a+b=0, c d=1, x= \pm \sqrt{3}$.
当 $x=\sqrt{3}$ 时, 原式 $=3+(0+1) × \sqrt{3}+0+1=4+\sqrt{3}$;
当 $x=-\sqrt{3}$ 时, 原式 $=3+(0+1) ×(-\sqrt{3})+0+1=4-\sqrt{3}$.
$\therefore$ 代数式 $x^2+(a+b+c d) x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{c d}$ 的值为 $4+$ $\sqrt{3}$ 或 $4-\sqrt{3}$.
$\therefore a+b=0, c d=1, x= \pm \sqrt{3}$.
当 $x=\sqrt{3}$ 时, 原式 $=3+(0+1) × \sqrt{3}+0+1=4+\sqrt{3}$;
当 $x=-\sqrt{3}$ 时, 原式 $=3+(0+1) ×(-\sqrt{3})+0+1=4-\sqrt{3}$.
$\therefore$ 代数式 $x^2+(a+b+c d) x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{c d}$ 的值为 $4+$ $\sqrt{3}$ 或 $4-\sqrt{3}$.
25. (8分)(2024春·江阴期中)对于非零实数a,b,定义运算:$a*b= \left\{\begin{array}{l} a^{b}(a＞b),\\ b^{a}(a≤b),\end{array} \right. 如4*2= 4^{2}= 16$.
(1)①填空:$(-1)*3=$
②计算:$[\frac {1}{3}*(-2)]×[(-2)*6]$.
(2)若$2*(2x-1)= 16$,求x的值.
(1)①填空:$(-1)*3=$
$\frac{1}{3}$
;②计算:$[\frac {1}{3}*(-2)]×[(-2)*6]$.
解: $\because \frac{1}{3}＞-2,-2＜6, \therefore\left[\frac{1}{3} *(-2)\right] ×[(-2) *6]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} × 6^{-2}=9 × \frac{1}{36}=\frac{1}{4}$.
(2)若$2*(2x-1)= 16$,求x的值.
解: (1) 若 $2＞2 x-1$, 则 $2^{2 x-1}=16=2^4, \therefore 2 x-1=4$,不符合题意, 舍去;
(2) 若 $2 \leqslant 2 x-1$, 则 $(2 x-1)^2=16=( \pm 4)^2, \therefore 2 x-1=4$符合题意, 故 $x=\frac{5}{2}$.
综上, $x$ 的值为 $\frac{5}{2}$.
(2) 若 $2 \leqslant 2 x-1$, 则 $(2 x-1)^2=16=( \pm 4)^2, \therefore 2 x-1=4$符合题意, 故 $x=\frac{5}{2}$.
综上, $x$ 的值为 $\frac{5}{2}$.
答案：(1) ① $\frac{1}{3}$
② 解: $\because \frac{1}{3}＞-2,-2＜6, \therefore\left[\frac{1}{3} *(-2)\right] ×[(-2) *$ $6]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} × 6^{-2}=9 × \frac{1}{36}=\frac{1}{4}$.
(2) 解: (1) 若 $2＞2 x-1$, 则 $2^{2 x-1}=16=2^4, \therefore 2 x-1=4$,不符合题意, 舍去;
(2) 若 $2 \leqslant 2 x-1$, 则 $(2 x-1)^2=16=( \pm 4)^2, \therefore 2 x-1=4$符合题意, 故 $x=\frac{5}{2}$.
综上, $x$ 的值为 $\frac{5}{2}$.
② 解: $\because \frac{1}{3}＞-2,-2＜6, \therefore\left[\frac{1}{3} *(-2)\right] ×[(-2) *$ $6]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} × 6^{-2}=9 × \frac{1}{36}=\frac{1}{4}$.
(2) 解: (1) 若 $2＞2 x-1$, 则 $2^{2 x-1}=16=2^4, \therefore 2 x-1=4$,不符合题意, 舍去;
(2) 若 $2 \leqslant 2 x-1$, 则 $(2 x-1)^2=16=( \pm 4)^2, \therefore 2 x-1=4$符合题意, 故 $x=\frac{5}{2}$.
综上, $x$ 的值为 $\frac{5}{2}$.
26. (10分)如图,半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示-1的点重合.
(1)若圆从-1处沿数轴向右滚动一周,圆上的点A恰好与点B重合,设点B对应的实数是b,则$b= $
(2)在(1)的条件下,求$-(b-\sqrt {9})+π$的算术平方根;(结果保留π)
(3)若圆从数轴上A点开始滚动,向右滚动的周数记为正数,向左滚动的周数记为负数,依次运动的情况记录如下:+2,-4,+3,-2.当圆结束运动时,点A运动的路程共是多少?此时点A所表示的数是多少?(结果保留π)
(1)若圆从-1处沿数轴向右滚动一周,圆上的点A恰好与点B重合,设点B对应的实数是b,则$b= $
$-1+2\pi$
;(结果保留π)(2)在(1)的条件下,求$-(b-\sqrt {9})+π$的算术平方根;(结果保留π)
解: 由 (1) 可得, $b=-1+2 \pi$,
$\therefore-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1+2 \pi-3)+\pi=1-2 \pi+3+$ $\pi=4-\pi$,
$\therefore 4-\pi$ 的算术平方根为 $\sqrt{4-\pi}$.
$\therefore-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1+2 \pi-3)+\pi=1-2 \pi+3+$ $\pi=4-\pi$,
$\therefore 4-\pi$ 的算术平方根为 $\sqrt{4-\pi}$.
(3)若圆从数轴上A点开始滚动,向右滚动的周数记为正数,向左滚动的周数记为负数,依次运动的情况记录如下:+2,-4,+3,-2.当圆结束运动时,点A运动的路程共是多少?此时点A所表示的数是多少?(结果保留π)
解: 由题意得, 点 $A$ 共滚动 $|+2|+|-4|+|+3|+$ $|-2|=11$ (周),
则滚动的路程为 $11 × 2 \pi=22 \pi$.
$\because+2-4+3-2=-1$,
$\therefore$ 当圆结束运动时, 圆向左滚动了一周, 即 $2 \pi, \therefore$ 此时点 $A$ 表示的数为 $-1-2 \pi$.
则滚动的路程为 $11 × 2 \pi=22 \pi$.
$\because+2-4+3-2=-1$,
$\therefore$ 当圆结束运动时, 圆向左滚动了一周, 即 $2 \pi, \therefore$ 此时点 $A$ 表示的数为 $-1-2 \pi$.
答案：(1) $-1+2 \pi$
(2) 解: 由 (1) 可得, $b=-1+2 \pi$,
$\therefore-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1+2 \pi-3)+\pi=1-2 \pi+3+$ $\pi=4-\pi$,
$\therefore 4-\pi$ 的算术平方根为 $\sqrt{4-\pi}$.
(3) 解: 由题意得, 点 $A$ 共滚动 $|+2|+|-4|+|+3|+$ $|-2|=11$ (周),
则滚动的路程为 $11 × 2 \pi=22 \pi$.
$\because+2-4+3-2=-1$,
$\therefore$ 当圆结束运动时, 圆向左滚动了一周, 即 $2 \pi, \therefore$ 此时点 $A$ 表示的数为 $-1-2 \pi$.
(2) 解: 由 (1) 可得, $b=-1+2 \pi$,
$\therefore-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1+2 \pi-3)+\pi=1-2 \pi+3+$ $\pi=4-\pi$,
$\therefore 4-\pi$ 的算术平方根为 $\sqrt{4-\pi}$.
(3) 解: 由题意得, 点 $A$ 共滚动 $|+2|+|-4|+|+3|+$ $|-2|=11$ (周),
则滚动的路程为 $11 × 2 \pi=22 \pi$.
$\because+2-4+3-2=-1$,
$\therefore$ 当圆结束运动时, 圆向左滚动了一周, 即 $2 \pi, \therefore$ 此时点 $A$ 表示的数为 $-1-2 \pi$.