1. 在下列各组数中,不是勾股数的是 (
A.5,12,13
B.8,12,15
C.8,15,17
D.9,40,41
B
)A.5,12,13
B.8,12,15
C.8,15,17
D.9,40,41
答案：B
解析：
解：A. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，是勾股数；
B. $8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$，$15^2 = 225$，$208 ≠ 225$，不是勾股数；
C. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，是勾股数；
D. $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$，是勾股数。
答案：B
B. $8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$，$15^2 = 225$，$208 ≠ 225$，不是勾股数；
C. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，是勾股数；
D. $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$，是勾股数。
答案：B
2. 已知一个直角三角形的三边长的平方和为$1800cm^2,$则斜边长为 (
A.30cm
B.80cm
C.90cm
D.120cm
A
)A.30cm
B.80cm
C.90cm
D.120cm
答案：A
解析：
解：设直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入得：
$c^2 + c^2 = 1800$
$2c^2 = 1800$
$c^2 = 900$
$c = 30$（$c=-30$舍去）
答案：A
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入得：
$c^2 + c^2 = 1800$
$2c^2 = 1800$
$c^2 = 900$
$c = 30$（$c=-30$舍去）
答案：A
3. 在△ABC中,∠A:∠B:∠C= 1:1:2,三个角的对边分别为a,b,c,则下列说法错误的是 (
A.∠C= 90°
B.$a^2= b^2-c^2$
C.$c^2= 2a^2$
D.a= b
B
)A.∠C= 90°
B.$a^2= b^2-c^2$
C.$c^2= 2a^2$
D.a= b
答案：B
解析：
解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=2x。
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°，解得x=45°。
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，A正确。
∴△ABC是等腰直角三角形，a=b，D正确。
由勾股定理得a²+b²=c²，又a=b，
∴2a²=c²，C正确。
∵a²+b²=c²，a=b，
∴2a²=c²，即a²=(c²)/2，B错误。
答案：B
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°，解得x=45°。
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，A正确。
∴△ABC是等腰直角三角形，a=b，D正确。
由勾股定理得a²+b²=c²，又a=b，
∴2a²=c²，C正确。
∵a²+b²=c²，a=b，
∴2a²=c²，即a²=(c²)/2，B错误。
答案：B
4. (2024·南京模拟)在三边长分别为a,b,c(a ＜ b ＜ c)的直角三角形中,下列数量关系不成立的是 (
A.a + b ＞ c
B.a + b ＜ 2c
C.$\sqrt {a}+\sqrt {b}<\sqrt {c}$
D.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
C
)A.a + b ＞ c
B.a + b ＜ 2c
C.$\sqrt {a}+\sqrt {b}<\sqrt {c}$
D.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
答案：C
解析：
解：
A. 在三角形中，任意两边之和大于第三边，故 $a + b ＞ c$ 成立；
B. 直角三角形中 $c$ 为斜边且最长，$a ＜ b ＜ c$，则 $a + b ＜ c + c = 2c$，成立；
C. 设 $a=3$，$b=4$，$c=5$（直角三角形），则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{4}\approx1.732+2=3.732$，$\sqrt{c}=\sqrt{5}\approx2.236$，此时 $\sqrt{a}+\sqrt{b} ＞ \sqrt{c}$，故不成立；
D. 直角三角形勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，成立。
结论：不成立的是 C。
答案：C
A. 在三角形中，任意两边之和大于第三边，故 $a + b ＞ c$ 成立；
B. 直角三角形中 $c$ 为斜边且最长，$a ＜ b ＜ c$，则 $a + b ＜ c + c = 2c$，成立；
C. 设 $a=3$，$b=4$，$c=5$（直角三角形），则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{4}\approx1.732+2=3.732$，$\sqrt{c}=\sqrt{5}\approx2.236$，此时 $\sqrt{a}+\sqrt{b} ＞ \sqrt{c}$，故不成立；
D. 直角三角形勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，成立。
结论：不成立的是 C。
答案：C
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,D为AC上一点,且DA= DB= 13,若△DAB的面积为78,那么DC的长是 (
A.4
B.5
C.8
D.4.5
B
)A.4
B.5
C.8
D.4.5
答案：1. 首先，根据三角形面积公式求$BC$的长度：
已知$S_{\triangle DAB}=\frac{1}{2}DA\cdot BC$，且$DA = 13$，$S_{\triangle DAB}=78$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = DA$，$h = BC$），可得$78=\frac{1}{2}×13× BC$。
解方程：
两边同时乘以$2$得：$156 = 13× BC$。
则$BC=\frac{156}{13}=12$。
2. 然后，在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理求$DC$的长度：
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = DB$，$a = BC$，$b = DC$），即$DC=\sqrt{DB^{2}-BC^{2}}$。
已知$DB = 13$，$BC = 12$，则$DC=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$13^{2}-12^{2}=(13 + 12)(13 - 12)$。
所以$DC=\sqrt{(13 + 12)(13 - 12)}=\sqrt{25×1}$。
因为$\sqrt{25}=5$，所以$DC = 5$。
综上，答案是B。
已知$S_{\triangle DAB}=\frac{1}{2}DA\cdot BC$，且$DA = 13$，$S_{\triangle DAB}=78$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = DA$，$h = BC$），可得$78=\frac{1}{2}×13× BC$。
解方程：
两边同时乘以$2$得：$156 = 13× BC$。
则$BC=\frac{156}{13}=12$。
2. 然后，在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理求$DC$的长度：
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = DB$，$a = BC$，$b = DC$），即$DC=\sqrt{DB^{2}-BC^{2}}$。
已知$DB = 13$，$BC = 12$，则$DC=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$13^{2}-12^{2}=(13 + 12)(13 - 12)$。
所以$DC=\sqrt{(13 + 12)(13 - 12)}=\sqrt{25×1}$。
因为$\sqrt{25}=5$，所以$DC = 5$。
综上，答案是B。
解析：
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=13，△DAB面积为78。
过点B作BE⊥AD于E，
S△DAB=1/2×AD×BE=78，AD=13，
1/2×13×BE=78，解得BE=12。
在Rt△DEB中，DB=13，BE=12，
DE=√(DB²-BE²)=√(13²-12²)=5。
DA=13，AE=AD-DE=13-5=8。
设DC=x，AC=AD+DC=13+x，
在Rt△ACB和Rt△ECB中，BC²=AB²-AC²=BE²+EC²，
AB²=(AE+EB在水平方向投影，此处EC=AC-AE=13+x-8=5+x)，
BC²=BE²+EC²=12²+(5+x)²，
AB²=AD²+BD²-2×AD×BD×cos∠ADB（此处用勾股定理更简便：AB²=AE²+BE²=8²+12²=208），
AC²+BC²=AB²，即(13+x)²+[12²+(5+x)²]=208，
展开得169+26x+x²+144+25+10x+x²=208，
2x²+36x+338=208，x²+18x+65=0（错误，重新用EC=DC+DE= x+5，AC=AD+DC=13+x，BC²=12²+(x+5)²，AB²=(13+x)²+BC²=208，
(13+x)²+144+(x+5)²=208，
169+26x+x²+144+25+10x+x²=208，
2x²+36x+338=208，2x²+36x+130=0，x²+18x+65=0（仍错误，正确EC=AC - AE= (AD + DC) - AE=13 + x - 8=5 + x，Rt△BCA中BC²=AB² - AC²，Rt△BCE中BC²=BE² + EC²，所以AB² - AC²=BE² + EC²，AB²=AE² + BE²=8² + 12²=64 + 144=208，故208 - (13 + x)²=12² + (5 + x)²，
208 - (169 + 26x + x²)=144 + 25 + 10x + x²，
208 - 169 - 26x - x²=169 + 10x + x²，
39 - 26x - x²=169 + 10x + x²，
-2x² - 36x - 130=0，x² + 18x + 65=0（计算错误，应为208 - (13+x)²=144 + (x+5)²，208 - 169 -26x -x²=144 + x² +10x +25，39 -26x -x²=169 +x² +10x，-2x² -36x -130=0，x² +18x +65=0，判别式324 -260=64，x=(-18±8)/2，x=(-10)/2=-5（舍）或x=(-26)/2=-13（舍），错误在于AE计算，应为DE=5，AD=13，当D在AC上，E可能在AD延长线上，DE=5，AE=AD + DE=13 +5=18，EC=AC - AE=13 +x -18=x -5，BC²=12² + (x -5)²，AB²=AE² + BE²=18² +12²=324 +144=468，
则(13 + x)² + [12² + (x -5)²]=468，
169 +26x +x² +144 +x² -10x +25=468，
2x² +16x +338=468，2x² +16x -130=0，x² +8x -65=0，(x+13)(x-5)=0，x=5。
DC=5。
答案：B
过点B作BE⊥AD于E，
S△DAB=1/2×AD×BE=78，AD=13，
1/2×13×BE=78，解得BE=12。
在Rt△DEB中，DB=13，BE=12，
DE=√(DB²-BE²)=√(13²-12²)=5。
DA=13，AE=AD-DE=13-5=8。
设DC=x，AC=AD+DC=13+x，
在Rt△ACB和Rt△ECB中，BC²=AB²-AC²=BE²+EC²，
AB²=(AE+EB在水平方向投影，此处EC=AC-AE=13+x-8=5+x)，
BC²=BE²+EC²=12²+(5+x)²，
AB²=AD²+BD²-2×AD×BD×cos∠ADB（此处用勾股定理更简便：AB²=AE²+BE²=8²+12²=208），
AC²+BC²=AB²，即(13+x)²+[12²+(5+x)²]=208，
展开得169+26x+x²+144+25+10x+x²=208，
2x²+36x+338=208，x²+18x+65=0（错误，重新用EC=DC+DE= x+5，AC=AD+DC=13+x，BC²=12²+(x+5)²，AB²=(13+x)²+BC²=208，
(13+x)²+144+(x+5)²=208，
169+26x+x²+144+25+10x+x²=208，
2x²+36x+338=208，2x²+36x+130=0，x²+18x+65=0（仍错误，正确EC=AC - AE= (AD + DC) - AE=13 + x - 8=5 + x，Rt△BCA中BC²=AB² - AC²，Rt△BCE中BC²=BE² + EC²，所以AB² - AC²=BE² + EC²，AB²=AE² + BE²=8² + 12²=64 + 144=208，故208 - (13 + x)²=12² + (5 + x)²，
208 - (169 + 26x + x²)=144 + 25 + 10x + x²，
208 - 169 - 26x - x²=169 + 10x + x²，
39 - 26x - x²=169 + 10x + x²，
-2x² - 36x - 130=0，x² + 18x + 65=0（计算错误，应为208 - (13+x)²=144 + (x+5)²，208 - 169 -26x -x²=144 + x² +10x +25，39 -26x -x²=169 +x² +10x，-2x² -36x -130=0，x² +18x +65=0，判别式324 -260=64，x=(-18±8)/2，x=(-10)/2=-5（舍）或x=(-26)/2=-13（舍），错误在于AE计算，应为DE=5，AD=13，当D在AC上，E可能在AD延长线上，DE=5，AE=AD + DE=13 +5=18，EC=AC - AE=13 +x -18=x -5，BC²=12² + (x -5)²，AB²=AE² + BE²=18² +12²=324 +144=468，
则(13 + x)² + [12² + (x -5)²]=468，
169 +26x +x² +144 +x² -10x +25=468，
2x² +16x +338=468，2x² +16x -130=0，x² +8x -65=0，(x+13)(x-5)=0，x=5。
DC=5。
答案：B
6. 已知正方形①、②在直线AC上,正方形③如图放置,若正方形①、②的面积分别为$81cm^2$和$144cm^2,$则正方形③的边长为 (
A.225cm
B.63cm
C.50cm
D.15cm
D
)A.225cm
B.63cm
C.50cm
D.15cm
答案：D
解析：
解：
∵正方形①面积为$81\,\text{cm}^2$，
∴边长$AE=AB=\sqrt{81}=9\,\text{cm}$。
∵正方形②面积为$144\,\text{cm}^2$，
∴边长$CD=BC=\sqrt{144}=12\,\text{cm}$。
由图可知，$\triangle ABE$和$\triangle BCD$均为直角三角形，且$\angle ABE+\angle CBD=90^\circ$，
∴$\triangle ABE \cong \triangle BCD$（AAS），则$BE=CD=12\,\text{cm}$，$BD=AB=9\,\text{cm}$。
在$\text{Rt}\triangle BDE$中，$DE^2=BE^2+BD^2=12^2+9^2=144+81=225$，
∴$DE=\sqrt{225}=15\,\text{cm}$，即正方形③的边长为$15\,\text{cm}$。
答案：D
∵正方形①面积为$81\,\text{cm}^2$，
∴边长$AE=AB=\sqrt{81}=9\,\text{cm}$。
∵正方形②面积为$144\,\text{cm}^2$，
∴边长$CD=BC=\sqrt{144}=12\,\text{cm}$。
由图可知，$\triangle ABE$和$\triangle BCD$均为直角三角形，且$\angle ABE+\angle CBD=90^\circ$，
∴$\triangle ABE \cong \triangle BCD$（AAS），则$BE=CD=12\,\text{cm}$，$BD=AB=9\,\text{cm}$。
在$\text{Rt}\triangle BDE$中，$DE^2=BE^2+BD^2=12^2+9^2=144+81=225$，
∴$DE=\sqrt{225}=15\,\text{cm}$，即正方形③的边长为$15\,\text{cm}$。
答案：D
7. (2023·梁溪区模拟)如图,在△ABC中,AB= AC= 5cm,BC= 8cm,则AB边上的高为 (
A.2.4cm
B.3cm
C.4.8cm
D.无法确定
C
)A.2.4cm
B.3cm
C.4.8cm
D.无法确定
答案：C
解析：
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$cm，
△ABC面积=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×3=12$cm²，
设AB边上的高为h，
则$\frac{1}{2}×AB×h=12$，即$\frac{1}{2}×5×h=12$，
解得h=4.8cm。
答案：C
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$cm，
△ABC面积=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×3=12$cm²，
设AB边上的高为h，
则$\frac{1}{2}×AB×h=12$，即$\frac{1}{2}×5×h=12$，
解得h=4.8cm。
答案：C
8. 如图,在锐角△ABC中,AB= AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC= 45°,BC= 6,则△EBC的面积是 (
A.12
B.9
C.6
D.3$\sqrt {2}$
B
)A.12
B.9
C.6
D.3$\sqrt {2}$
答案：B
解析：
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac {BC}{2}$=3。
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，
∴△EDB是等腰直角三角形，
∴ED=BD=3。
∴S$_{△EBC}$=BC×$\frac {ED}{2}$=9。
答案：B
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac {BC}{2}$=3。
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，
∴△EDB是等腰直角三角形，
∴ED=BD=3。
∴S$_{△EBC}$=BC×$\frac {ED}{2}$=9。
答案：B
9. 如图,设小方格的面积为1,则图中以格点为端点且长度为√13的线段有 (
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
C
)A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案：C
解析：
解：由勾股定理，长度为√13的线段满足两直角边平方和为13。
∵13=2²+3²，
∴格点间横向距离2、纵向距离3或横向距离3、纵向距离2时，线段长为$\sqrt {13}$。
观察图形，符合条件的线段有：
1. 横向2格、纵向3格的线段2条；
2. 横向3格、纵向2格的线段2条。
共4条。
答案：C
∵13=2²+3²，
∴格点间横向距离2、纵向距离3或横向距离3、纵向距离2时，线段长为$\sqrt {13}$。
观察图形，符合条件的线段有：
1. 横向2格、纵向3格的线段2条；
2. 横向3格、纵向2格的线段2条。
共4条。
答案：C