10. (2024·泰兴一模)用四个全等的直角三角形围成一个如图①的大正方形,中间是一个小正方形,这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.现用如图②的两种直角三角形各两个围成一个如图③的四边形ABCD,若知道图③中阴影部分的面积,则一定能求出图③中 (
A.四边形ABCD的面积
B.四边形EFGH的面积
C.△ADH的面积
D.△CDG的面积
D
)A.四边形ABCD的面积
B.四边形EFGH的面积
C.△ADH的面积
D.△CDG的面积
答案：D
11. (2024·兴化月考)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB= 90°,分别以AC,CB为边作正方形.若图中两个正方形的面积和$S_1 + S_2 = 36,$则AB= ______
6
.答案：6
解析：
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴由勾股定理得：AC² + BC² = AB²。
∵S₁是边长为AC的正方形面积，S₂是边长为BC的正方形面积，
∴S₁ = AC²，S₂ = BC²。
∵S₁ + S₂ = 36，
∴AC² + BC² = 36，即AB² = 36。
∴AB = 6（负值舍去）。
故答案为：6。
∴由勾股定理得：AC² + BC² = AB²。
∵S₁是边长为AC的正方形面积，S₂是边长为BC的正方形面积，
∴S₁ = AC²，S₂ = BC²。
∵S₁ + S₂ = 36，
∴AC² + BC² = 36，即AB² = 36。
∴AB = 6（负值舍去）。
故答案为：6。
12. 若直角三角形中,斜边比一直角边长2,且另一直角边长为6,则斜边长为
10
.答案：10
解析：
解：设斜边长为$x$，则一直角边长为$x - 2$。
根据勾股定理，得$x^2=(x - 2)^2 + 6^2$。
展开得$x^2=x^2 - 4x + 4 + 36$。
移项化简得$4x = 40$。
解得$x = 10$。
10
根据勾股定理，得$x^2=(x - 2)^2 + 6^2$。
展开得$x^2=x^2 - 4x + 4 + 36$。
移项化简得$4x = 40$。
解得$x = 10$。
10
13. 如图,△ABC为等边三角形,AD为BC边上的高,且AB= 2,则正方形ADEF的面积为
3
.答案：3
解析：
解：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，AB=2
∴BD=DC=1
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=2²-1²=3
∵四边形ADEF是正方形
∴正方形ADEF的面积=AD²=3
答案：3
∴BD=DC=1
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=2²-1²=3
∵四边形ADEF是正方形
∴正方形ADEF的面积=AD²=3
答案：3
14. (2023春·海安期末)如图,一根竹子高一丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,则折断处离地面的高度是
4.55
尺.(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,其中的丈、尺是长度单位,1丈= 10尺)答案：4.55
解析：
解：设折断处离地面的高度是 $ x $ 尺，则折断部分的长度为 $ (10 - x) $ 尺。
根据勾股定理，得 $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。
展开得 $ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $。
移项化简得 $ 20x = 91 $。
解得 $ x = 4.55 $。
4.55
根据勾股定理，得 $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。
展开得 $ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $。
移项化简得 $ 20x = 91 $。
解得 $ x = 4.55 $。
4.55
15. 如图是某超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,小马虎从点A到点C共移动了12m,电梯上升的高度h为6m,经小马虎测量,AB= 2m,则BE=
8m
.答案：8m
16. (2024·句容期末)如图,在四边形ABCD中,∠BAD= 90°,AB= BC= AD= 5,对角线AC⊥CD,则线段CD的长为______
$\sqrt{5}$
.答案：$\sqrt{5}$
解析：
解：在△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=5，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
在△ABC中，AB=BC=5，设AC=x，
由余弦定理得：AC²=AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC，
即$x^2 = 5^2 + 5^2 - 2×5×5×cos∠ABC$，
$cos∠ABC = \frac{50 - x^2}{50}$。
在△ADC中，AC⊥CD，∠ACD=90°，CD=y，
则AD²=AC² + CD²，即$5^2 = x^2 + y^2$，$x^2 + y^2 = 25$。
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=∠ACB + 90°，
由四边形内角和为360°得：∠ABC + ∠ADC = 180°，
故cos∠ADC = -cos∠ABC。
在△BCD中，BC=5，CD=y，BD=$5\sqrt{2}$，
由余弦定理得：BD²=BC² + CD² - 2·BC·CD·cos∠BCD，
∠BCD=∠ACB + 90°，cos∠BCD=-sin∠ACB，
在△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB·sin∠ABC}{AC} = \frac{5sin∠ABC}{x}$，
则$50 = 25 + y^2 + 2×5×y×\frac{5sin∠ABC}{x}$，
化简得：$25 + y^2 + \frac{50y sin∠ABC}{x} = 50$，
$\frac{50y sin∠ABC}{x} = 25 - y^2 = x^2$，
$sin∠ABC = \frac{x^3}{50y}$。
由$sin^2∠ABC + cos^2∠ABC = 1$，
$\left(\frac{x^3}{50y}\right)^2 + \left(\frac{50 - x^2}{50}\right)^2 = 1$，
将$y^2 = 25 - x^2$代入，解得$x^2 = 20$，$y^2 = 5$，
故CD=$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
由勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
在△ABC中，AB=BC=5，设AC=x，
由余弦定理得：AC²=AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC，
即$x^2 = 5^2 + 5^2 - 2×5×5×cos∠ABC$，
$cos∠ABC = \frac{50 - x^2}{50}$。
在△ADC中，AC⊥CD，∠ACD=90°，CD=y，
则AD²=AC² + CD²，即$5^2 = x^2 + y^2$，$x^2 + y^2 = 25$。
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=∠ACB + 90°，
由四边形内角和为360°得：∠ABC + ∠ADC = 180°，
故cos∠ADC = -cos∠ABC。
在△BCD中，BC=5，CD=y，BD=$5\sqrt{2}$，
由余弦定理得：BD²=BC² + CD² - 2·BC·CD·cos∠BCD，
∠BCD=∠ACB + 90°，cos∠BCD=-sin∠ACB，
在△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB·sin∠ABC}{AC} = \frac{5sin∠ABC}{x}$，
则$50 = 25 + y^2 + 2×5×y×\frac{5sin∠ABC}{x}$，
化简得：$25 + y^2 + \frac{50y sin∠ABC}{x} = 50$，
$\frac{50y sin∠ABC}{x} = 25 - y^2 = x^2$，
$sin∠ABC = \frac{x^3}{50y}$。
由$sin^2∠ABC + cos^2∠ABC = 1$，
$\left(\frac{x^3}{50y}\right)^2 + \left(\frac{50 - x^2}{50}\right)^2 = 1$，
将$y^2 = 25 - x^2$代入，解得$x^2 = 20$，$y^2 = 5$，
故CD=$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
17. (2024春·启东月考)在△ABC中,AB= 15,AC= 13,高AD= 12,则BC的长为
14或4
.答案：14或4
解析：
解：
情况一：高AD在△ABC内部
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12
BD²=AB²-AD²=15²-12²=225-144=81
BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12
CD²=AC²-AD²=13²-12²=169-144=25
CD=5
BC=BD+CD=9+5=14
情况二：高AD在△ABC外部
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12
BD²=AB²-AD²=15²-12²=81
BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12
CD²=AC²-AD²=13²-12²=25
CD=5
BC=BD-CD=9-5=4
综上，BC的长为14或4。
情况一：高AD在△ABC内部
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12
BD²=AB²-AD²=15²-12²=225-144=81
BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12
CD²=AC²-AD²=13²-12²=169-144=25
CD=5
BC=BD+CD=9+5=14
情况二：高AD在△ABC外部
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12
BD²=AB²-AD²=15²-12²=81
BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12
CD²=AC²-AD²=13²-12²=25
CD=5
BC=BD-CD=9-5=4
综上，BC的长为14或4。
18. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,AB= 10,点O是AB边的中点,点P是射线AC上的一个动点,BQ//CA交PO的延长线于点Q,OM⊥PQ交BC边于点M.当CP= 1时,BM的长为
2.5或1
.答案：2.5或1