19. (6分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD= ∠BCD= 90°,点E,F分别是BD和AC的中点,连接EF.
(1)试判断EF与AC的位置关系,并说明理由;
(2)若BD= 26,EF= 5,求AC的长.
(1)试判断EF与AC的位置关系,并说明理由;
(2)若BD= 26,EF= 5,求AC的长.
答案：
解:(1)EF垂直平分AC.理由:如答图，连接AE,CE;
∵∠BAD=∠BCD=90°,E是BD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD,CE=$\frac{1}{2}$BD,∴AE=CE,
又∵F是AC的中点,∴EF垂直平分AC.
(2)∵BD=26,∴CE=$\frac{1}{2}$BD=13,
∴CF= $\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}$= $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12,
∴AC=2CF=24.
解:(1)EF垂直平分AC.理由:如答图，连接AE,CE;
∵∠BAD=∠BCD=90°,E是BD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD,CE=$\frac{1}{2}$BD,∴AE=CE,
又∵F是AC的中点,∴EF垂直平分AC.
(2)∵BD=26,∴CE=$\frac{1}{2}$BD=13,
∴CF= $\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}$= $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12,
∴AC=2CF=24.
20. (6分)(2024·海陵区期末)如图,学校有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC,分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉.经测量,∠EDC= 90°,DC= 3,CE= 5,BD= 7,AB= 8,AE= 1.求四边形ABDE的面积.
答案：解:由题意得AC=AE+CE=1+5=6,BC=BD+DC=7+3=10.
在Rt△EDC中,由勾股定理得DE=$\sqrt{CE^{2}-DC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∵6²+8²=10²,∴AC²+AB²=BC²,
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°,
∴$S_{四边形ABDE}=S_{△ABC}−S_{△EDC}$=$\frac{1}{2}$AB·AC−$\frac{1}{2}$DE·DC=$\frac{1}{2}$×8×6−$\frac{1}{2}$×4×3=18.
答:四边形ABDE的面积为18.
在Rt△EDC中,由勾股定理得DE=$\sqrt{CE^{2}-DC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∵6²+8²=10²,∴AC²+AB²=BC²,
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°,
∴$S_{四边形ABDE}=S_{△ABC}−S_{△EDC}$=$\frac{1}{2}$AB·AC−$\frac{1}{2}$DE·DC=$\frac{1}{2}$×8×6−$\frac{1}{2}$×4×3=18.
答:四边形ABDE的面积为18.
21. (6分)如图,一块长方体砖宽AN= 5cm,长ND= 10cm,CD上的点B距地面的高BD= 8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路程是多少?
答案：
解:如答图，在砖的侧面展开图上，连接AB,则AB的长即为A处到B处
的最短路程.
在Rt△ABD中，∵AD=AN+ND=5+10=15(cm),BD=8cm,
∴AB²=AD²+BD²=15²+8²=289=17²,
∴AB=17cm.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为17cm.
解:如答图，在砖的侧面展开图上，连接AB,则AB的长即为A处到B处
的最短路程.
在Rt△ABD中，∵AD=AN+ND=5+10=15(cm),BD=8cm,
∴AB²=AD²+BD²=15²+8²=289=17²,
∴AB=17cm.
故蚂蚁需要爬行的最短路程为17cm.
22. (8分)(1)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形,弦图中包含了一大、一小两个正方形,已知每个直角三角形中较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边为c,结合图①,验证勾股定理;
(2)如图②,将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起,形成飞镖状,已知外围轮廓的周长为24,OC= 3,求该飞镖状图案的面积.
(2)如图②,将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起,形成飞镖状,已知外围轮廓的周长为24,OC= 3,求该飞镖状图案的面积.
答案：解:(1)$S_{小正方形}=(a−b)²=a²−2ab+b²,另一方面S_{小正方形}$=c²−4×$\frac{1}{2}$ab=c²−2ab,
∴a²−2ab+b²=c²−2ab,则a²+b²=c².
(2)24÷4=6,设AC=x,则AB=6−x,
依题意有(x+3)²+3²=(6−x)²,解得x=1,
$\frac{1}{2}$×(3+1)×3×4=$\frac{1}{2}$×4×3×4=24.
故该飞镖状图案的面积是24.
∴a²−2ab+b²=c²−2ab,则a²+b²=c².
(2)24÷4=6,设AC=x,则AB=6−x,
依题意有(x+3)²+3²=(6−x)²,解得x=1,
$\frac{1}{2}$×(3+1)×3×4=$\frac{1}{2}$×4×3×4=24.
故该飞镖状图案的面积是24.