23. (8分)如图,在长方形ABCD中,AB= 3,BC= 4,E是BC边上一点,连接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,求BE的长.
答案：
解:当∠B'EC=90°时,如答图①,
则∠BEB'=90°.
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处，∴∠BEA=∠B'EA=45°,∴BE=AB=3.
当∠EB'C=90°时,如答图②,
在Rt△ABC中，∵AB=3,BC=4,∴AC=5.
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处，∴∠B=∠AB'E=90°,EB=EB',AB'=AB=3,
∴点A,B',C共线,即点B'在AC上,CB'=AC−AB'=5−3=2.
设BE=x,则EB'=x,CE=4−x.
在Rt△CEB'中,∵EB'²+CB'²=CE²,
∴x²+2²=(4−x)²,解得x=$\frac{3}{2}$,即BE=$\frac{3}{2}$
综上所述，BE的长为3或$\frac{3}{2}$.
解:当∠B'EC=90°时,如答图①,
则∠BEB'=90°.
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处，∴∠BEA=∠B'EA=45°,∴BE=AB=3.
当∠EB'C=90°时,如答图②,
在Rt△ABC中，∵AB=3,BC=4,∴AC=5.
∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处，∴∠B=∠AB'E=90°,EB=EB',AB'=AB=3,
∴点A,B',C共线,即点B'在AC上,CB'=AC−AB'=5−3=2.
设BE=x,则EB'=x,CE=4−x.
在Rt△CEB'中,∵EB'²+CB'²=CE²,
∴x²+2²=(4−x)²,解得x=$\frac{3}{2}$,即BE=$\frac{3}{2}$
综上所述，BE的长为3或$\frac{3}{2}$.
24. (10分)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM= 2.5,MN= 6.5,BN= 6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗? 请说明理由;
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB= 30,AM= 5,求BN的长.
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM= 2.5,MN= 6.5,BN= 6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗? 请说明理由;
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB= 30,AM= 5,求BN的长.
答案：解:(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下:
∵$AM^{2}+BN^{2}=2.5^{2}+6^{2}=42.25$,$MN^{2}=6.5^{2}=42.25$,
∴$AM^{2}+NB^{2}=MN^{2}$,
∴以AM,MN，NB为边的三角形是一个直角三角形,
∴点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=30−AM−BN=25−x.
①当MN为斜边时,依题意得$MN^{2}=AM^{2}+NB^{2}$,
即$(25 - x)^{2} = x^{2} + 25$,解得x=12;
②当BN为斜边时,依题意得$BN^{2}=AM^{2}+MN^{2}$,
即$x^{2} = 25 + (25 - x)^{2}$,解得x=13.
综上所述，BN的长为12或13.
∵$AM^{2}+BN^{2}=2.5^{2}+6^{2}=42.25$,$MN^{2}=6.5^{2}=42.25$,
∴$AM^{2}+NB^{2}=MN^{2}$,
∴以AM,MN，NB为边的三角形是一个直角三角形,
∴点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=30−AM−BN=25−x.
①当MN为斜边时,依题意得$MN^{2}=AM^{2}+NB^{2}$,
即$(25 - x)^{2} = x^{2} + 25$,解得x=12;
②当BN为斜边时,依题意得$BN^{2}=AM^{2}+MN^{2}$,
即$x^{2} = 25 + (25 - x)^{2}$,解得x=13.
综上所述，BN的长为12或13.
25. (12分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,点M在AC上,CM= 2cm,AM= BC= 6cm,过点A作射线AN⊥AC(AN与CB在AC同侧),若动点P从点A出发,沿射线AN匀速运动,运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t s.
(1)当t=
(2)在(1)的条件下,求证:AB⊥PM.
证明:∵△ABC≌△PMA,∴∠APM=∠CAB,
而∠CAB+∠BAP=90°,
∴∠APM+∠BAP=90°,∴∠ADP=90°,∴AB⊥PM.
(3)连接BP,是否存在某个t的值,使得△ABP是等腰三角形? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:存在.
在△ABC中,∠C=90°,
∵BC=6,AC=2+6=8,∴AB= $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=10.
过点B作BH⊥AN于点H,则AH=BC=6,BH=AC=8.
当AP=AB时,△ABP是等腰三角形,∴t=10;
当BP=BA时,△ABP是等腰三角形,则AH=PH,
∴AP=2AH=12,∴t=12.
当AP=PB时,△ABP是等腰三角形,则PB=t,
∴PH=t−6,在Rt△PBH中,∵$PH^{2}+BH^{2}=PB^{2}$,
∴$(t - 6)^{2} + 8^{2} = t^{2}$,解得t=$\frac{25}{3}$.
综上所述,当t为10或12或$\frac{25}{3}$时,△ABP是等腰三角形.
(1)当t=
8
时,△ABC≌△PMA.(2)在(1)的条件下,求证:AB⊥PM.
证明:∵△ABC≌△PMA,∴∠APM=∠CAB,
而∠CAB+∠BAP=90°,
∴∠APM+∠BAP=90°,∴∠ADP=90°,∴AB⊥PM.
(3)连接BP,是否存在某个t的值,使得△ABP是等腰三角形? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:存在.
在△ABC中,∠C=90°,
∵BC=6,AC=2+6=8,∴AB= $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=10.
过点B作BH⊥AN于点H,则AH=BC=6,BH=AC=8.
当AP=AB时,△ABP是等腰三角形,∴t=10;
当BP=BA时,△ABP是等腰三角形,则AH=PH,
∴AP=2AH=12,∴t=12.
当AP=PB时,△ABP是等腰三角形,则PB=t,
∴PH=t−6,在Rt△PBH中,∵$PH^{2}+BH^{2}=PB^{2}$,
∴$(t - 6)^{2} + 8^{2} = t^{2}$,解得t=$\frac{25}{3}$.
综上所述,当t为10或12或$\frac{25}{3}$时,△ABP是等腰三角形.
答案：(1)8
(2)证明:∵△ABC≌△PMA,∴∠APM=∠CAB,
而∠CAB+∠BAP=90°,
∴∠APM+∠BAP=90°,∴∠ADP=90°,∴AB⊥PM.
(3)解:存在.
在△ABC中,∠C=90°,
∵BC=6,AC=2+6=8,∴AB= $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=10.
过点B作BH⊥AN于点H,则AH=BC=6,BH=AC=8.
当AP=AB时,△ABP是等腰三角形,∴t=10;
当BP=BA时,△ABP是等腰三角形,则AH=PH,
∴AP=2AH=12,∴t=12.
当AP=PB时,△ABP是等腰三角形,则PB=t,
∴PH=t−6,在Rt△PBH中,∵$PH^{2}+BH^{2}=PB^{2}$,
∴$(t - 6)^{2} + 8^{2} = t^{2}$,解得t=$\frac{25}{3}$.
综上所述,当t为10或12或$\frac{25}{3}$时,△ABP是等腰三角形.
(2)证明:∵△ABC≌△PMA,∴∠APM=∠CAB,
而∠CAB+∠BAP=90°,
∴∠APM+∠BAP=90°,∴∠ADP=90°,∴AB⊥PM.
(3)解:存在.
在△ABC中,∠C=90°,
∵BC=6,AC=2+6=8,∴AB= $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=10.
过点B作BH⊥AN于点H,则AH=BC=6,BH=AC=8.
当AP=AB时,△ABP是等腰三角形,∴t=10;
当BP=BA时,△ABP是等腰三角形,则AH=PH,
∴AP=2AH=12,∴t=12.
当AP=PB时,△ABP是等腰三角形,则PB=t,
∴PH=t−6,在Rt△PBH中,∵$PH^{2}+BH^{2}=PB^{2}$,
∴$(t - 6)^{2} + 8^{2} = t^{2}$,解得t=$\frac{25}{3}$.
综上所述,当t为10或12或$\frac{25}{3}$时,△ABP是等腰三角形.