9. 如图,线段OA在平面直角坐标系内,A点坐标为$(2,5)$,线段OA绕原点O逆时针旋转$90^{\circ}$,得到线段$OA'$,则点$A'$的坐标为(
A.$(-5,2)$
B.$(5,2)$
C.$(2,-5)$
D.$(5,-2)$
A
)A.$(-5,2)$
B.$(5,2)$
C.$(2,-5)$
D.$(5,-2)$
答案：A
解析：
解：已知点$A(2,5)$，线段$OA$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$OA'$。
根据平面直角坐标系内点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标变换规律：横纵坐标互换，且新横坐标为原纵坐标的相反数，新纵坐标为原横坐标，可得点$A'$的坐标为$(-5,2)$。
答案：A
根据平面直角坐标系内点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标变换规律：横纵坐标互换，且新横坐标为原纵坐标的相反数，新纵坐标为原横坐标，可得点$A'$的坐标为$(-5,2)$。
答案：A
10. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(1,0)$,以线段OA为边在第四象限内作等边$\triangle ABO$,点C为x轴正半轴上一动点$(OC＞1)$,连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边$\triangle CBD$,直线DA交y轴于点E,则点E的坐标是(
A.随着点C位置的变化而变化
B.$(0,3)$
C.$(0,\sqrt{2})$
D.$(0,\sqrt{3})$
D
)A.随着点C位置的变化而变化
B.$(0,3)$
C.$(0,\sqrt{2})$
D.$(0,\sqrt{3})$
答案：D
解析：
解：
∵△ABO为等边三角形，A(1,0)，
∴OA=AB=OB=1，∠OBA=60°，
过点B作BH⊥x轴于H，
$则OH=\frac{1}{2}，BH=\sqrt {(1²-(\frac{1}{2})²)}=\sqrt {3}/2，$
$∴B(\frac{1}{2},-\sqrt {3}/2)。$
设C(t,0)(t＞1)，
∵△CBD为等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBC+∠ABC=∠ABD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
又OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD(SAS)，
∴AD=OC=t，∠BAD=∠BOC。
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=60°，∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOB=120°，
∴∠BAD=120°，
∴∠OAD=∠BAD-∠BAO=60°，
$∴直线AD的倾斜角为180°-60°=120°，斜率k=tan120°=-\sqrt {3}，$
$∴直线AD的方程为y-0=-\sqrt {3}(x-1)。$
$令x=0，得y=\sqrt {3}，$
$∴E(0,\sqrt {3})。$
答案：D
∵△ABO为等边三角形，A(1,0)，
∴OA=AB=OB=1，∠OBA=60°，
过点B作BH⊥x轴于H，
$则OH=\frac{1}{2}，BH=\sqrt {(1²-(\frac{1}{2})²)}=\sqrt {3}/2，$
$∴B(\frac{1}{2},-\sqrt {3}/2)。$
设C(t,0)(t＞1)，
∵△CBD为等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBC+∠ABC=∠ABD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
又OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD(SAS)，
∴AD=OC=t，∠BAD=∠BOC。
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=60°，∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOB=120°，
∴∠BAD=120°，
∴∠OAD=∠BAD-∠BAO=60°，
$∴直线AD的倾斜角为180°-60°=120°，斜率k=tan120°=-\sqrt {3}，$
$∴直线AD的方程为y-0=-\sqrt {3}(x-1)。$
$令x=0，得y=\sqrt {3}，$
$∴E(0,\sqrt {3})。$
答案：D
11. (2023春·射阳期末)若教室5排2号可用有序数对$(5,2)$表示,则2排6号可用有序数对表示为
$(2,6)$
.答案：$(2,6)$
12. 已知线段$MN= 4,MN// y$轴,若点M的坐标为$(-1,2)$,则点N的坐标为
$(-1,-2)$或$(-1,6)$
.答案：$(-1,-2)$或$(-1,6)$
解析：
解：因为$MN// y$轴，点$M$的坐标为$(-1,2)$，所以点$N$的横坐标为$-1$。
设点$N$的坐标为$(-1,y)$。
因为$MN=4$，所以$|y - 2| = 4$。
当$y - 2 = 4$时，$y = 6$；当$y - 2 = -4$时，$y = -2$。
则点$N$的坐标为$(-1,-2)$或$(-1,6)$。
答案：$(-1,-2)$或$(-1,6)$
设点$N$的坐标为$(-1,y)$。
因为$MN=4$，所以$|y - 2| = 4$。
当$y - 2 = 4$时，$y = 6$；当$y - 2 = -4$时，$y = -2$。
则点$N$的坐标为$(-1,-2)$或$(-1,6)$。
答案：$(-1,-2)$或$(-1,6)$
13. 如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为$(-1,1)$,AB平行于x轴,则点C的坐标为
$(3,5)$
.答案：$(3,5)$
解析：
解：∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为$(-1,1)$，AB平行于x轴，
∴点B的横坐标为$-1 + 4 = 3$，纵坐标与点A相同为1，即$B(3,1)$。
∵BC垂直于AB，AB平行于x轴，
∴BC平行于y轴，点C的横坐标与点B相同为3，纵坐标为$1 + 4 = 5$，即$C(3,5)$。
故点C的坐标为$(3,5)$。
∴点B的横坐标为$-1 + 4 = 3$，纵坐标与点A相同为1，即$B(3,1)$。
∵BC垂直于AB，AB平行于x轴，
∴BC平行于y轴，点C的横坐标与点B相同为3，纵坐标为$1 + 4 = 5$，即$C(3,5)$。
故点C的坐标为$(3,5)$。
14. 已知点P的坐标为$(2-a,3a+6)$,且点P到两坐标轴的距离相等,则$a=$
$-1$或$-4$
.答案：$-1$或$-4$
解析：
解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2 - a| = |3a + 6|，
∴2 - a = 3a + 6或2 - a = -(3a + 6)，
当2 - a = 3a + 6时，
a - 3a = 6 - 2，
4a = 4，
a = -1；
当2 - a = -(3a + 6)时，
2 - a = -3a - 6，
a + 3a = -6 - 2，
2a = -8，
a = -4；
综上，a = -1或-4。
∴|2 - a| = |3a + 6|，
∴2 - a = 3a + 6或2 - a = -(3a + 6)，
当2 - a = 3a + 6时，
a - 3a = 6 - 2，
4a = 4，
a = -1；
当2 - a = -(3a + 6)时，
2 - a = -3a - 6，
a + 3a = -6 - 2，
2a = -8，
a = -4；
综上，a = -1或-4。
15. (2024·广陵区期末)如图,在直角坐标系中,$Rt\triangle ABC$的顶点A在x轴上,顶点B在y轴上,$\angle ACB= 90^{\circ},OB// AC$,点C的坐标为$(4,8)$,点D和点C关于AB成轴对称,且AD交y轴于点E,则点E的坐标为______
(0,3)
.答案：$(0,3)$
解析：
解：∵点C(4,8)，OB//AC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴点B(0,8)，设点A(a,0)。
∵∠ACB=90°，
∴向量CB=(-4,0)，向量CA=(a-4,-8)，
CB·CA=(-4)(a-4)+0×(-8)=-4a+16=0，解得a=4，
∴点A(4,0)。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(4,0)，B(0,8)代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$，
∴直线AB：y=-2x+8。
设点D(m,n)，∵D与C关于AB对称，
∴CD中点$(\frac{m+4}{2},\frac{n+8}{2})$在AB上，且CD⊥AB，
$\frac{n+8}{2}=-2×\frac{m+4}{2}+8$，即n+8=-2(m+4)+16，n=-2m。
CD斜率$\frac{n-8}{m-4}=\frac{1}{2}$，$\frac{-2m-8}{m-4}=\frac{1}{2}$，-4m-16=m-4，m=-$\frac{12}{5}$，n=$\frac{24}{5}$，
∴D(-$\frac{12}{5},\frac{24}{5}$)。
设直线AD的解析式为y=px+q，
将A(4,0)，D(-$\frac{12}{5},\frac{24}{5}$)代入得：
$\begin{cases}4p+q=0\\-\frac{12}{5}p+q=\frac{24}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-\frac{3}{4}\\q=3\end{cases}$，
∴直线AD：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，y=3，
∴点E(0,3)。
(0,3)
∴AC⊥BC，AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴点B(0,8)，设点A(a,0)。
∵∠ACB=90°，
∴向量CB=(-4,0)，向量CA=(a-4,-8)，
CB·CA=(-4)(a-4)+0×(-8)=-4a+16=0，解得a=4，
∴点A(4,0)。
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(4,0)，B(0,8)代入得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$，
∴直线AB：y=-2x+8。
设点D(m,n)，∵D与C关于AB对称，
∴CD中点$(\frac{m+4}{2},\frac{n+8}{2})$在AB上，且CD⊥AB，
$\frac{n+8}{2}=-2×\frac{m+4}{2}+8$，即n+8=-2(m+4)+16，n=-2m。
CD斜率$\frac{n-8}{m-4}=\frac{1}{2}$，$\frac{-2m-8}{m-4}=\frac{1}{2}$，-4m-16=m-4，m=-$\frac{12}{5}$，n=$\frac{24}{5}$，
∴D(-$\frac{12}{5},\frac{24}{5}$)。
设直线AD的解析式为y=px+q，
将A(4,0)，D(-$\frac{12}{5},\frac{24}{5}$)代入得：
$\begin{cases}4p+q=0\\-\frac{12}{5}p+q=\frac{24}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-\frac{3}{4}\\q=3\end{cases}$，
∴直线AD：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，y=3，
∴点E(0,3)。
(0,3)
16. (2023·天宁区一模)对于平面直角坐标系xOy中的点$M(a,b)$,若点N的坐标为$(ka,b+k)$,其中k为常数,且$k\ne0$,则点M,N互为“k系关联点”.例如,$M(2,3)$的“2系关联点”为$N(2×2,3+2)$,即$N(4,5)$.若点$P(m,-2)$的“-1系关联点”为$Q(x,y)$,且满足$x+y= -9$,则m的值为______
6
.答案：6
解析：
解：∵点$P(m,-2)$的“$-1$系关联点”为$Q(x,y)$，
$\therefore x = -1× m=-m$，$y=-2+(-1)=-3$。
$\because x + y=-9$，
$\therefore -m + (-3)=-9$，
解得$m=6$。
6
$\therefore x = -1× m=-m$，$y=-2+(-1)=-3$。
$\because x + y=-9$，
$\therefore -m + (-3)=-9$，
解得$m=6$。
6
17. 在平面直角坐标系中,坐标轴上到点$P(-6,8)$的距离等于10的点的坐标为
$(0,0),(0,16),(-12,0)$
.答案：$(0,0),(0,16),(-12,0)$
解析：
解：设所求点的坐标为$(x,0)$或$(0,y)$。
当点在$x$轴上时，由距离公式得：$\sqrt{(x + 6)^2 + (0 - 8)^2} = 10$
$(x + 6)^2 + 64 = 100$
$(x + 6)^2 = 36$
$x + 6 = \pm 6$
解得$x = 0$或$x = -12$，即$(0,0)$，$(-12,0)$。
当点在$y$轴上时，由距离公式得：$\sqrt{(0 + 6)^2 + (y - 8)^2} = 10$
$36 + (y - 8)^2 = 100$
$(y - 8)^2 = 64$
$y - 8 = \pm 8$
解得$y = 0$或$y = 16$，即$(0,0)$，$(0,16)$。
综上，坐标轴上到点$P(-6,8)$的距离等于10的点的坐标为$(0,0)$，$(0,16)$，$(-12,0)$。
答案：$(0,0),(0,16),(-12,0)$
当点在$x$轴上时，由距离公式得：$\sqrt{(x + 6)^2 + (0 - 8)^2} = 10$
$(x + 6)^2 + 64 = 100$
$(x + 6)^2 = 36$
$x + 6 = \pm 6$
解得$x = 0$或$x = -12$，即$(0,0)$，$(-12,0)$。
当点在$y$轴上时，由距离公式得：$\sqrt{(0 + 6)^2 + (y - 8)^2} = 10$
$36 + (y - 8)^2 = 100$
$(y - 8)^2 = 64$
$y - 8 = \pm 8$
解得$y = 0$或$y = 16$，即$(0,0)$，$(0,16)$。
综上，坐标轴上到点$P(-6,8)$的距离等于10的点的坐标为$(0,0)$，$(0,16)$，$(-12,0)$。
答案：$(0,0),(0,16),(-12,0)$
18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半径分别为1,2,3,…,按照“加1”依次递增;一组平行线$l_0,l_1,l_2,l_3,\dots$都与x轴垂直,相邻两直线的间距为1,其中$l_0$与y轴重合.若半径为2的圆与$l_1在第一象限内交于点P_1$,半径为3的圆与$l_2在第一象限内交于点P_2$,…,半径为$(n+1)的圆与l_n在第一象限内交于点P_n$,则点$P_n$的坐标为______.(n为正整数)
$(n,\sqrt{2n + 1})$
答案：$(n,\sqrt{2n + 1})$
解析：
解：由题意知，直线$l_n$与$y$轴相距$n$个单位，且与$x$轴垂直，所以点$P_n$的横坐标为$n$。
设点$P_n$的坐标为$(n,y)$，因为点$P_n$在半径为$(n + 1)$的圆上，根据圆的方程$x^2 + y^2 = r^2$（其中$r$为圆的半径），可得：
$n^2 + y^2 = (n + 1)^2$
展开等式右边：$(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$
则$n^2 + y^2 = n^2 + 2n + 1$
移项可得：$y^2 = 2n + 1$
因为点$P_n$在第一象限，所以$y ＞ 0$，则$y = \sqrt{2n + 1}$
故点$P_n$的坐标为$(n,\sqrt{2n + 1})$
答案：$(n,\sqrt{2n + 1})$
设点$P_n$的坐标为$(n,y)$，因为点$P_n$在半径为$(n + 1)$的圆上，根据圆的方程$x^2 + y^2 = r^2$（其中$r$为圆的半径），可得：
$n^2 + y^2 = (n + 1)^2$
展开等式右边：$(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$
则$n^2 + y^2 = n^2 + 2n + 1$
移项可得：$y^2 = 2n + 1$
因为点$P_n$在第一象限，所以$y ＞ 0$，则$y = \sqrt{2n + 1}$
故点$P_n$的坐标为$(n,\sqrt{2n + 1})$
答案：$(n,\sqrt{2n + 1})$