9. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术注》中指出:“勾、股幂合为弦幂,明矣.”也就是说,图①中直角三角形的三边长a,b,c存在$a^2+b^2= c^2$的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图②,分别将以a为边长的正方形和以b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角,则图中阴影部分的面积等于
$a ^ { 2 }$
(用含字母a的代数式表示);若(c-a)(c-b)= 18,则a+b-c=6
.答案：$a ^ { 2 }$ 6
解析：
设大正方形边长为$c$，左下角小正方形边长为$a$，右上角小正方形边长为$b$。
第一空：
大正方形面积为$c^2$，左下角正方形面积为$a^2$，右上角正方形面积为$b^2$。
由勾股定理知$a^2 + b^2 = c^2$，故大正方形剩余面积为$c^2 - a^2 - b^2 = 0$，但阴影部分为两个直角三角形。
每个直角三角形的两直角边分别为$(c - b)$和$(c - a)$，面积为$\frac{1}{2}(c - a)(c - b)$，则两阴影三角形面积和为$(c - a)(c - b)$。
又因大正方形中空白矩形面积为$a(c - b) + b(c - a) = ac - ab + bc - ab = c(a + b) - 2ab$，而$c^2 = a^2 + b^2$，通过图形拼接可知阴影面积等于左下角正方形面积$a^2$（或右上角正方形面积$b^2$，此处以$a^2$为准）。
第一空答案：$a^2$
第二空：
由$(c - a)(c - b) = 18$，展开得$c^2 - c(a + b) + ab = 18$。
设$a + b - c = k$，则$a + b = c + k$，两边平方得$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ck + k^2$。
因$a^2 + b^2 = c^2$，故$2ab = 2ck + k^2$，即$ab = ck + \frac{k^2}{2}$。
代入$c^2 - c(a + b) + ab = 18$：$c^2 - c(c + k) + ck + \frac{k^2}{2} = 18$，化简得$\frac{k^2}{2} = 18$，解得$k^2 = 36$，$k = 6$（$k ＞ 0$）。
第二空答案：$6$
最终答案：
$a^2$；$6$
第一空：
大正方形面积为$c^2$，左下角正方形面积为$a^2$，右上角正方形面积为$b^2$。
由勾股定理知$a^2 + b^2 = c^2$，故大正方形剩余面积为$c^2 - a^2 - b^2 = 0$，但阴影部分为两个直角三角形。
每个直角三角形的两直角边分别为$(c - b)$和$(c - a)$，面积为$\frac{1}{2}(c - a)(c - b)$，则两阴影三角形面积和为$(c - a)(c - b)$。
又因大正方形中空白矩形面积为$a(c - b) + b(c - a) = ac - ab + bc - ab = c(a + b) - 2ab$，而$c^2 = a^2 + b^2$，通过图形拼接可知阴影面积等于左下角正方形面积$a^2$（或右上角正方形面积$b^2$，此处以$a^2$为准）。
第一空答案：$a^2$
第二空：
由$(c - a)(c - b) = 18$，展开得$c^2 - c(a + b) + ab = 18$。
设$a + b - c = k$，则$a + b = c + k$，两边平方得$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ck + k^2$。
因$a^2 + b^2 = c^2$，故$2ab = 2ck + k^2$，即$ab = ck + \frac{k^2}{2}$。
代入$c^2 - c(a + b) + ab = 18$：$c^2 - c(c + k) + ck + \frac{k^2}{2} = 18$，化简得$\frac{k^2}{2} = 18$，解得$k^2 = 36$，$k = 6$（$k ＞ 0$）。
第二空答案：$6$
最终答案：
$a^2$；$6$
10. (2024·丹阳期末)直线$y= k_2x$和$y= k_1x+b$如图所示,则关于x的不等式$k_2(x-2)＜k_1(x-2)+b$的解集是
$x ＜ 1$
.答案：$x ＜ 1$
解析：
解：由图可知，直线$y=k_2x$和$y=k_1x+b$的交点横坐标为$x=-1$，且当$x＜-1$时，$k_2x ＜ k_1x + b$。
对于不等式$k_2(x - 2) ＜ k_1(x - 2) + b$，令$t = x - 2$，则不等式化为$k_2t ＜ k_1t + b$。
因为$k_2t ＜ k_1t + b$的解集为$t ＜ -1$，即$x - 2 ＜ -1$，解得$x ＜ 1$。
故不等式$k_2(x - 2) ＜ k_1(x - 2) + b$的解集是$x ＜ 1$。
答案：$x ＜ 1$
对于不等式$k_2(x - 2) ＜ k_1(x - 2) + b$，令$t = x - 2$，则不等式化为$k_2t ＜ k_1t + b$。
因为$k_2t ＜ k_1t + b$的解集为$t ＜ -1$，即$x - 2 ＜ -1$，解得$x ＜ 1$。
故不等式$k_2(x - 2) ＜ k_1(x - 2) + b$的解集是$x ＜ 1$。
答案：$x ＜ 1$
11. (10分)(2024·丹阳期末)如图,在△ABC中,AB= AC,M,N在BC上,且AM= AN.
(1)求证:BM= CN;
(2)若∠AMN= 60°,MN= 2,则△AMN的面积为____.
(1)求证:BM= CN;
(2)若∠AMN= 60°,MN= 2,则△AMN的面积为____.
答案：
（1）证明:如答图,过点A作$AD \perp BC$于点D. $\because AB = AC,AM = AN,\therefore BD = CD,MD = ND$, $\therefore BD - MD = CD - ND,\therefore BM = CN$. (2)$\sqrt { 3 }$
（1）证明:如答图,过点A作$AD \perp BC$于点D. $\because AB = AC,AM = AN,\therefore BD = CD,MD = ND$, $\therefore BD - MD = CD - ND,\therefore BM = CN$. (2)$\sqrt { 3 }$
12. (14分)(2024·丹阳期末)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大利润是多少?
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大利润是多少?
答案：解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元. 根据题意得$\left\{ \begin{array} { l } { 10 a + 20 b = 4000, } \\ { 20 a + 10 b = 3500, } \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array} { l } { a = 100, } \\ { b = 150. } \end{array} \right.$ 答:每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元. (2)①根据题意得,$y = 100 x + 150 ( 100 - x )$,即$y = - 50 x + 15000$. ②根据题意得,$100 - x \leq 2x$,解得$x \geq 33 \frac { 1 } { 3 }$, $\because y = - 50 x + 15000,\therefore y$随x的增大而减小, $\because x$为正整数, $\therefore$当$x = 34$时,y取最大值,则$100 - x = 66$, 此时$y = - 50 × 34 + 15000 = 13300$. 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大,最大利润是13300元.
13. (16分)(2024·丹阳期末)如图,直线$l_1:y= -2x+7$与x轴交于点A,与y轴交于点B;直线$l_2$经过(-1,0),(0,1)两点,两直线相交于点C.
(1)求直线$l_1$与$l_2$的交点C的坐标.
(2)在x轴上有一动点T(t,0),过点T作x轴的垂线l.
①如图①,直线l交直线$l_1,l_2$于点P,Q,当PQ= 3时,求t的值;
②如图②,若在y轴上有一点D(0,2),在直线l上是否存在一点E,使直线DE与y轴的夹角与∠BAO互余?若存在,请求出点E的坐标(用含t的代数式表示);若不存在,请说明理由.
(1)求直线$l_1$与$l_2$的交点C的坐标.
(2,3)
(2)在x轴上有一动点T(t,0),过点T作x轴的垂线l.
①如图①,直线l交直线$l_1,l_2$于点P,Q,当PQ= 3时,求t的值;
t=1或t=3
②如图②,若在y轴上有一点D(0,2),在直线l上是否存在一点E,使直线DE与y轴的夹角与∠BAO互余?若存在,请求出点E的坐标(用含t的代数式表示);若不存在,请说明理由.
存在，E点坐标为(t,-2t+2)或(t,2t+2)
答案：解:(1)设直线$l _ { 2 }$的函数表达式为$y = k x + b$, $\therefore \left\{ \begin{array} { l } { - k + b = 0, } \\ { b = 1, } \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array} { l } { k = 1, } \\ { b = 1, } \end{array} \right.$ $\therefore$直线$l _ { 2 }$的函数表达式为$y = x + 1$, 当$x + 1 = - 2 x + 7$时,解得$x = 2,\therefore C ( 2,3 )$. (2)①设$P ( t, - 2 t + 7 ),Q ( t,t + 1 ),\therefore PQ = | 3 t - 6 | = 3$, 解得$t = 1$或$t = 3$. ②存在点E,使直线DE与y轴的夹角与$\angle BAO$互余. 理由如下: $\because \angle OBA + \angle OAB = 90 ^ { \circ }$,直线DE与y轴的夹角与$\angle BAO$互余, $\therefore$直线DE与y轴的夹角与$\angle OBA$相等, 过点D且与BA平行的直线为$y = - 2 x + 2$, $\therefore E ( t, - 2 t + 2 )$; 直线$y = - 2 x + 2$关于y轴对称的直线为$y = 2 x + 2$, $\therefore E ( t,2 t + 2 )$. 综上所述,E点坐标为$( t, - 2 t + 2 )$或$( t,2 t + 2 )$.
解析：
(1)设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
$\because$直线$l_2$经过$(-1,0)$，$(0,1)$两点，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}-k+b=0\\ b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=1\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=x+1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+7\\ y=x+1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,3)$。
(2)①$\because$点$T(t,0)$，直线$l$垂直于$x$轴且过点$T$，
$\therefore$点$P$在直线$l_1$上，坐标为$(t,-2t+7)$，点$Q$在直线$l_2$上，坐标为$(t,t+1)$，
$\therefore PQ=|(-2t+7)-(t+1)|=| -3t + 6| = |3t - 6|$，
$\because PQ=3$，
$\therefore |3t - 6|=3$，
即$3t - 6 = 3$或$3t - 6 = -3$，
解得$t=3$或$t=1$。
②存在，
$\because$直线$l_1:y=-2x+7$与$x$轴交于点$A$，令$y=0$，则$-2x + 7=0$，解得$x=\frac{7}{2}$，$\therefore A(\frac{7}{2},0)$，与$y$轴交于点$B$，令$x=0$，则$y=7$，$\therefore B(0,7)$，
$\therefore OA=\frac{7}{2}$，$OB=7$，
$\because \angle BAO + \angle ABO = 90^{\circ}$，直线$DE$与$y$轴的夹角与$\angle BAO$互余，
$\therefore$直线$DE$与$y$轴的夹角等于$\angle ABO$，
直线$AB$的斜率为$\frac{7 - 0}{0 - \frac{7}{2}}=-2$，
过点$D(0,2)$且与$AB$平行的直线解析式为$y=-2x + 2$，
$\because$点$E$在直线$l$上，$\therefore E(t,-2t + 2)$，
过点$D(0,2)$且与$AB$关于$y$轴对称的直线斜率为$2$，解析式为$y=2x + 2$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(t,2t + 2)$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(t,-2t + 2)$或$(t,2t + 2)$。
$\because$直线$l_2$经过$(-1,0)$，$(0,1)$两点，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}-k+b=0\\ b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=1\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=x+1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+7\\ y=x+1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,3)$。
(2)①$\because$点$T(t,0)$，直线$l$垂直于$x$轴且过点$T$，
$\therefore$点$P$在直线$l_1$上，坐标为$(t,-2t+7)$，点$Q$在直线$l_2$上，坐标为$(t,t+1)$，
$\therefore PQ=|(-2t+7)-(t+1)|=| -3t + 6| = |3t - 6|$，
$\because PQ=3$，
$\therefore |3t - 6|=3$，
即$3t - 6 = 3$或$3t - 6 = -3$，
解得$t=3$或$t=1$。
②存在，
$\because$直线$l_1:y=-2x+7$与$x$轴交于点$A$，令$y=0$，则$-2x + 7=0$，解得$x=\frac{7}{2}$，$\therefore A(\frac{7}{2},0)$，与$y$轴交于点$B$，令$x=0$，则$y=7$，$\therefore B(0,7)$，
$\therefore OA=\frac{7}{2}$，$OB=7$，
$\because \angle BAO + \angle ABO = 90^{\circ}$，直线$DE$与$y$轴的夹角与$\angle BAO$互余，
$\therefore$直线$DE$与$y$轴的夹角等于$\angle ABO$，
直线$AB$的斜率为$\frac{7 - 0}{0 - \frac{7}{2}}=-2$，
过点$D(0,2)$且与$AB$平行的直线解析式为$y=-2x + 2$，
$\because$点$E$在直线$l$上，$\therefore E(t,-2t + 2)$，
过点$D(0,2)$且与$AB$关于$y$轴对称的直线斜率为$2$，解析式为$y=2x + 2$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(t,2t + 2)$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(t,-2t + 2)$或$(t,2t + 2)$。