11.(12分)如图,平面直角坐标系中有两点$A(1,3)$,$B(3,-1)$,完成下列问题:
(1)求出经过A,B两点的直线的函数表达式;
(2)点E是y轴上一点,连接AE,BE,当$AE+BE$取最小值时,点E的坐标为______;
(3)若点$C(1,-2)$,在线段AC上找一点F,使点F到AB,BC的距离相等.(请在图中标出点F的位置)
(1)求出经过A,B两点的直线的函数表达式;
(2)点E是y轴上一点,连接AE,BE,当$AE+BE$取最小值时,点E的坐标为______;
(3)若点$C(1,-2)$,在线段AC上找一点F,使点F到AB,BC的距离相等.(请在图中标出点F的位置)
答案：
(1) 解: 设直线 AB 的函数表达式为 $y = kx + b$，
根据题意得 $\left\{\begin{array}{l} k + b = 3,\\ 3k + b = -1,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -2,\\ b = 5,\end{array}\right.$
∴经过 A,B 两点的直线的函数表达式为 $y = -2x + 5$。
(2) $(0,2)$
(3) 解: 如答图，点 F 为所作。
(1) 解: 设直线 AB 的函数表达式为 $y = kx + b$，
根据题意得 $\left\{\begin{array}{l} k + b = 3,\\ 3k + b = -1,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -2,\\ b = 5,\end{array}\right.$
∴经过 A,B 两点的直线的函数表达式为 $y = -2x + 5$。
(2) $(0,2)$
(3) 解: 如答图，点 F 为所作。
12.(12分)(2024·南京期末)在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$.
(1)如图①,D为BC边上一点,连接AD,以AD为边作$\triangle ADE$,$\angle DAE= 90^{\circ}$,$AD= AE$,连接EC.求证:$BD= CE$,$BD\perp CE$;
(2)如图②,D为$\triangle ABC$外一点.若$\angle ADC= 45^{\circ}$,$BD= 13$,$CD= 5$,求AD的长.
(1)如图①,D为BC边上一点,连接AD,以AD为边作$\triangle ADE$,$\angle DAE= 90^{\circ}$,$AD= AE$,连接EC.求证:$BD= CE$,$BD\perp CE$;
(2)如图②,D为$\triangle ABC$外一点.若$\angle ADC= 45^{\circ}$,$BD= 13$,$CD= 5$,求AD的长.
答案：
(1) 证明: $\because ∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，
即 $∠BAD = ∠CAE$，
在 $△ABD$ 和 $△ACE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AC,\\ ∠BAD = ∠CAE,\\ AD = AE,\end{array}\right.$
$\therefore △ABD ≌ △ACE(SAS)$，$\therefore BD = CE$，$∠B = ∠ACE$，
$\because ∠BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore ∠B = ∠BCA = 45^{\circ} = ∠ACE$，
$\therefore ∠BCE = ∠BCA + ∠ACE = 90^{\circ}$，即 $BD ⊥ CE$。
(2) 解: 如答图，过点 A 作 $AE ⊥ AD$，且 $AE = AD$，连接 DE,CE。
$\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形。$\therefore ∠ADE = 45^{\circ}$。
$\because ∠ADC = 45^{\circ}$，$\therefore ∠CDE = 90^{\circ}$。同(1) 可证，$△ABD ≌ △ACE$，$\therefore BD = CE = 13$，
在 $Rt△CDE$ 中，$\because ∠CDE = 90^{\circ}$，$CD = 5$，$CE = 13$，
$\therefore DE^{2} + CD^{2} = CE^{2}$，即 $DE^{2} + 5^{2} = 13^{2}$，
$\therefore DE = 12$。
$\because ∠EAD = 90^{\circ}$，$\therefore AE^{2} + AD^{2} = DE^{2}$，
$\because AE = AD$，$\therefore 2AD^{2} = 144$，$\therefore AD = 6\sqrt{2}$。
(1) 证明: $\because ∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，
即 $∠BAD = ∠CAE$，
在 $△ABD$ 和 $△ACE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AC,\\ ∠BAD = ∠CAE,\\ AD = AE,\end{array}\right.$
$\therefore △ABD ≌ △ACE(SAS)$，$\therefore BD = CE$，$∠B = ∠ACE$，
$\because ∠BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore ∠B = ∠BCA = 45^{\circ} = ∠ACE$，
$\therefore ∠BCE = ∠BCA + ∠ACE = 90^{\circ}$，即 $BD ⊥ CE$。
(2) 解: 如答图，过点 A 作 $AE ⊥ AD$，且 $AE = AD$，连接 DE,CE。
$\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形。$\therefore ∠ADE = 45^{\circ}$。
$\because ∠ADC = 45^{\circ}$，$\therefore ∠CDE = 90^{\circ}$。同(1) 可证，$△ABD ≌ △ACE$，$\therefore BD = CE = 13$，
在 $Rt△CDE$ 中，$\because ∠CDE = 90^{\circ}$，$CD = 5$，$CE = 13$，
$\therefore DE^{2} + CD^{2} = CE^{2}$，即 $DE^{2} + 5^{2} = 13^{2}$，
$\therefore DE = 12$。
$\because ∠EAD = 90^{\circ}$，$\therefore AE^{2} + AD^{2} = DE^{2}$，
$\because AE = AD$，$\therefore 2AD^{2} = 144$，$\therefore AD = 6\sqrt{2}$。
13.(16分)如图①,在平面直角坐标系中,直线$y= x-12$分别交x轴,y轴于点A,B,过点A作x轴的垂线交直线$y= \frac{3}{4}x$于点C,点D是线段AB上一点,连接OD,以OD为直角边作等腰直角三角形ODE,使$\angle ODE= 90^{\circ}$,且点E在线段AC上,过点D作x轴的平行线交y轴于点G,设点D的纵坐标为m.
(1)点C的坐标为______;
(2)用含m的代数式表示点E的坐标,并求出m的取值范围;
(3)如图②,连接BE交DG于点F,若$EF= DF-2m$,求m的值.
(1)点C的坐标为______;
(2)用含m的代数式表示点E的坐标,并求出m的取值范围;
(3)如图②,连接BE交DG于点F,若$EF= DF-2m$,求m的值.
答案：
(1) $(12,9)$
(2) 解: 如答图，延长 CA 交 GD 于点 H。
由题意知 $∠DGO = ∠DHE = ∠ODE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ODG + ∠EDH = 90^{\circ}$，$∠EDH + ∠DEH = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ODG = ∠DEH$，$\because OD = DE$，
$\therefore △DGO ≌ △EHD(AAS)$，$\therefore DG = EH$，$OG = DH$，
由题意知 $D(12 + m,m)$，$\therefore OG = AH = -m$，$DG = EH = 12 + m$，$\therefore AE = 12 + m - (-m) = 12 + 2m$，
$\therefore E(12,12 + 2m)$，$\because$ 点 E 在线段 AC 上，
$\therefore 0 ≤ 12 + 2m ≤ 9$，$\therefore -6 ≤ m ≤ -\frac{3}{2}$。
(3) 解: $\because B(0,-12)$，$E(12,2m + 12)$，$\therefore$ 直线 BE 的函数表达式为 $y = (2 + \frac{1}{6}m)x - 12$，$\therefore F(6,m)$，
$\because D(12 + m,m)$，$\therefore DF = 6 + m$，$EF = \sqrt{6^{2} + (12 + m)^{2}}$，
$\because EF = DF - 2m$，$\therefore \sqrt{6^{2} + (12 + m)^{2}} = 6 + m - 2m$，解得 $m = -4$。
(1) $(12,9)$
(2) 解: 如答图，延长 CA 交 GD 于点 H。
由题意知 $∠DGO = ∠DHE = ∠ODE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ODG + ∠EDH = 90^{\circ}$，$∠EDH + ∠DEH = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ODG = ∠DEH$，$\because OD = DE$，
$\therefore △DGO ≌ △EHD(AAS)$，$\therefore DG = EH$，$OG = DH$，
由题意知 $D(12 + m,m)$，$\therefore OG = AH = -m$，$DG = EH = 12 + m$，$\therefore AE = 12 + m - (-m) = 12 + 2m$，
$\therefore E(12,12 + 2m)$，$\because$ 点 E 在线段 AC 上，
$\therefore 0 ≤ 12 + 2m ≤ 9$，$\therefore -6 ≤ m ≤ -\frac{3}{2}$。
(3) 解: $\because B(0,-12)$，$E(12,2m + 12)$，$\therefore$ 直线 BE 的函数表达式为 $y = (2 + \frac{1}{6}m)x - 12$，$\therefore F(6,m)$，
$\because D(12 + m,m)$，$\therefore DF = 6 + m$，$EF = \sqrt{6^{2} + (12 + m)^{2}}$，
$\because EF = DF - 2m$，$\therefore \sqrt{6^{2} + (12 + m)^{2}} = 6 + m - 2m$，解得 $m = -4$。