1. 如图，AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上。用等式表示线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明。
答案：
解:线段 $ AB $，$ AC $，$ BD $ 之间的数量关系为 $ AB = AC + BD $。
证法一:如答图①，在 $ AB $ 上截取 $ AF = AC $，连接 $ EF $。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore \angle CAE = \angle FAE$。
在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = AF,\\ \angle CAE = \angle FAE,\\ AE = AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle AFE$，$\therefore \angle C = \angle AFE$。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle C + \angle D = 180^{\circ}$。
$\because \angle AFE + \angle BFE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle D = \angle BFE$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle FBE$。
在 $\triangle DBE$ 和 $\triangle FBE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle BFE,\\ \angle DBE = \angle FBE,\\ BE = BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DBE \cong \triangle FBE$，$\therefore BF = BD$，
$\therefore AB = AF + BF = AC + BD$。
证法二:如答图②，延长 $ AC $ 到点 $ F $，使 $ AF = AB $，连接 $ EF $。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore \angle BAE = \angle FAE$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AF,\\ \angle BAE = \angle FAE,\\ AE = AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle AFE$，$\therefore BE = EF$，$\angle ABE = \angle F$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle ABE$，$\therefore \angle DBE = \angle F$。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle D = \angle FCE$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FCE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle FCE,\\ \angle DBE = \angle F,\\ BE = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FCE$，$\therefore BD = FC$，
$\therefore AB = AF = AC + FC = AC + BD$。
证法三:如答图③，延长 $ AC $ 和 $ BE $，两线交于点 $ F $。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle F = \angle DBE$，$\angle FCE = \angle D$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle ABE$，
$\therefore \angle F = \angle ABE$，$\therefore AB = AF$。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore BE = EF$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FCE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle FCE,\\ \angle DBE = \angle F,\\ BE = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FCE$，$\therefore BD = FC$，
$\therefore AB = AF = AC + FC = AC + BD$。
解:线段 $ AB $，$ AC $，$ BD $ 之间的数量关系为 $ AB = AC + BD $。
证法一:如答图①，在 $ AB $ 上截取 $ AF = AC $，连接 $ EF $。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore \angle CAE = \angle FAE$。
在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = AF,\\ \angle CAE = \angle FAE,\\ AE = AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle AFE$，$\therefore \angle C = \angle AFE$。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle C + \angle D = 180^{\circ}$。
$\because \angle AFE + \angle BFE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle D = \angle BFE$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle FBE$。
在 $\triangle DBE$ 和 $\triangle FBE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle BFE,\\ \angle DBE = \angle FBE,\\ BE = BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DBE \cong \triangle FBE$，$\therefore BF = BD$，
$\therefore AB = AF + BF = AC + BD$。
证法二:如答图②，延长 $ AC $ 到点 $ F $，使 $ AF = AB $，连接 $ EF $。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore \angle BAE = \angle FAE$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AF,\\ \angle BAE = \angle FAE,\\ AE = AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle AFE$，$\therefore BE = EF$，$\angle ABE = \angle F$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle ABE$，$\therefore \angle DBE = \angle F$。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle D = \angle FCE$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FCE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle FCE,\\ \angle DBE = \angle F,\\ BE = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FCE$，$\therefore BD = FC$，
$\therefore AB = AF = AC + FC = AC + BD$。
证法三:如答图③，延长 $ AC $ 和 $ BE $，两线交于点 $ F $。
$\because AC // BD$，$\therefore \angle F = \angle DBE$，$\angle FCE = \angle D$。
$\because BE$ 平分 $\angle ABD$，$\therefore \angle DBE = \angle ABE$，
$\therefore \angle F = \angle ABE$，$\therefore AB = AF$。
$\because AE$ 平分 $\angle CAB$，$\therefore BE = EF$。
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FCE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle D = \angle FCE,\\ \angle DBE = \angle F,\\ BE = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FCE$，$\therefore BD = FC$，
$\therefore AB = AF = AC + FC = AC + BD$。
2. 数学实验——探索“SSA”。
[提出问题]
“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”为什么不能判定两个三角形全等？
[分析问题]
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，对∠B进行分类，分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。
[解决问题]
(1)当∠B是直角时，根据______定理(简写)，可得△ABC≌△DEF。
(2)当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立。只需要过点C，F作CG⊥AB，FH⊥DE，垂足分别为G，H。请完成证明。
(3)当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等。
如图，请你用直尺和圆规在方框中作出△DEF，满足：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，但△DEF和△ABC不全等。(不写作法，保留作图痕迹)
[提出问题]
“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”为什么不能判定两个三角形全等？
[分析问题]
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，对∠B进行分类，分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。
[解决问题]
(1)当∠B是直角时，根据______定理(简写)，可得△ABC≌△DEF。
(2)当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立。只需要过点C，F作CG⊥AB，FH⊥DE，垂足分别为G，H。请完成证明。
(3)当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等。
如图，请你用直尺和圆规在方框中作出△DEF，满足：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，但△DEF和△ABC不全等。(不写作法，保留作图痕迹)
答案：
(1) $ HL $
(2) 证明:如答图①。
$\because \angle ABC = \angle DEF$，
$\therefore 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DEF$，即 $\angle CBG = \angle FEH$。
在 $\triangle CBG$ 和 $\triangle FEH$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle CGB = \angle FHE = 90^{\circ},\\ \angle CBG = \angle FEH,\\ BC = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CBG \cong \triangle FEH(AAS)$，$\therefore CG = FH$。
在 $ Rt\triangle ACG $ 和 $ Rt\triangle DFH $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = DF,\\ CG = FH,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ACG \cong Rt\triangle DFH(HL)$，$\therefore \angle A = \angle D$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ABC = \angle DEF,\\ \angle A = \angle D,\\ AC = DF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF(AAS)$。
(3) 解:如答图②，$ AC = DF $，$ BC = EF $，$ \angle B = \angle E $，且 $ \angle B $，$ \angle E $ 都是锐角，但 $ \triangle DEF $ 和 $ \triangle ABC $ 不全等。
$\therefore \triangle DEF$ 即为所求。
(1) $ HL $
(2) 证明:如答图①。
$\because \angle ABC = \angle DEF$，
$\therefore 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DEF$，即 $\angle CBG = \angle FEH$。
在 $\triangle CBG$ 和 $\triangle FEH$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle CGB = \angle FHE = 90^{\circ},\\ \angle CBG = \angle FEH,\\ BC = EF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CBG \cong \triangle FEH(AAS)$，$\therefore CG = FH$。
在 $ Rt\triangle ACG $ 和 $ Rt\triangle DFH $ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = DF,\\ CG = FH,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ACG \cong Rt\triangle DFH(HL)$，$\therefore \angle A = \angle D$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ABC = \angle DEF,\\ \angle A = \angle D,\\ AC = DF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF(AAS)$。
(3) 解:如答图②，$ AC = DF $，$ BC = EF $，$ \angle B = \angle E $，且 $ \angle B $，$ \angle E $ 都是锐角，但 $ \triangle DEF $ 和 $ \triangle ABC $ 不全等。
$\therefore \triangle DEF$ 即为所求。