1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB＞BC$，点$D$在边$BC$上，$CD = 2BD$，点$E$，$F$在线段$AD$上，$\angle 1=\angle 2=\angle BAC$。若$\triangle ABC$的面积为18，则$\triangle ACF$与$\triangle BDE$的面积之和是（
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
A
）A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
答案：A 点拨：$\because ∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,$
$\therefore ∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA$. 在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠CAF,\\ AB=AC,\\ ∠BAE=∠ACF,\end{array}\right. $$\therefore \triangle ABE\cong \triangle CAF(ASA),$
$\therefore S_{\triangle ACF}=S_{\triangle ABE},\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle BDE}.$
$\because S_{\triangle ABC}=18,CD=2BD,$
$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac {1}{3}×18=6,$
$\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABD}=6$. 故选 A.
$\therefore ∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA$. 在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠CAF,\\ AB=AC,\\ ∠BAE=∠ACF,\end{array}\right. $$\therefore \triangle ABE\cong \triangle CAF(ASA),$
$\therefore S_{\triangle ACF}=S_{\triangle ABE},\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle BDE}.$
$\because S_{\triangle ABC}=18,CD=2BD,$
$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac {1}{3}×18=6,$
$\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABD}=6$. 故选 A.
2. 阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题。请看这个例题：
如图①，在四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = AD$。若$AC = 5cm$，求四边形$ABCD$的面积。
解：延长线段$CB$到点$E$，使得$BE = CD$，连接$AE$，我们可以证明$\triangle BAE\cong \triangle DAC$，根据全等三角形的性质得$AE = AC = 5$，$\angle EAB=\angle CAD$，则$\angle EAC=\angle EAB+\angle BAC=\angle DAC+\angle BAC=\angle BAD = 90^{\circ}$，则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$。这样，四边形$ABCD$的面积就转化为等腰直角三角形$EAC$的面积。
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形$ABCD$的面积为______$cm^{2}$。
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题。
如图②，已知$FG = FN = HM = GH + MN = 5cm$，$\angle G=\angle N = 90^{\circ}$，求五边形$FGHMN$的面积。
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题。请看这个例题：
如图①，在四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = AD$。若$AC = 5cm$，求四边形$ABCD$的面积。
解：延长线段$CB$到点$E$，使得$BE = CD$，连接$AE$，我们可以证明$\triangle BAE\cong \triangle DAC$，根据全等三角形的性质得$AE = AC = 5$，$\angle EAB=\angle CAD$，则$\angle EAC=\angle EAB+\angle BAC=\angle DAC+\angle BAC=\angle BAD = 90^{\circ}$，则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEC}$。这样，四边形$ABCD$的面积就转化为等腰直角三角形$EAC$的面积。
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形$ABCD$的面积为______$cm^{2}$。
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题。
如图②，已知$FG = FN = HM = GH + MN = 5cm$，$\angle G=\angle N = 90^{\circ}$，求五边形$FGHMN$的面积。
答案：
(1)12.5
(2)解:如答图,连接 FH,FM,延长 MN 到点 O,使$NO=GH$,连接 FO.
在$\triangle GFH$和$\triangle NFO$中,
$\left\{\begin{array}{l} FG=FN,\\ ∠FGH=∠FNO,\\ GH=NO,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle GFH\cong \triangle NFO(SAS),$
$\therefore FH=FO.$
$\because FG=FN=HM=GH+MN=5cm,GH=NO,$
$\therefore HM=OM.$
在$\triangle HFM$和$\triangle OFM$中,$\left\{\begin{array}{l} FH=FO,\\ FM=FM,\\ HM=OM,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle HFM\cong \triangle OFM(SSS),$
$\because \triangle OFM$的面积是$\frac {MO\cdot FN}{2}=\frac {5×5}{2}=12.5(cm^{2}),$
$\therefore \triangle HFM$的面积是$12.5cm^{2},$
$\therefore$四边形 HFOM 的面积是$25cm^{2},$
$\therefore$五边形 FGHMN 的面积是$25cm^{2}.$
(1)12.5
(2)解:如答图,连接 FH,FM,延长 MN 到点 O,使$NO=GH$,连接 FO.
在$\triangle GFH$和$\triangle NFO$中,
$\left\{\begin{array}{l} FG=FN,\\ ∠FGH=∠FNO,\\ GH=NO,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle GFH\cong \triangle NFO(SAS),$
$\therefore FH=FO.$
$\because FG=FN=HM=GH+MN=5cm,GH=NO,$
$\therefore HM=OM.$
在$\triangle HFM$和$\triangle OFM$中,$\left\{\begin{array}{l} FH=FO,\\ FM=FM,\\ HM=OM,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle HFM\cong \triangle OFM(SSS),$
$\because \triangle OFM$的面积是$\frac {MO\cdot FN}{2}=\frac {5×5}{2}=12.5(cm^{2}),$
$\therefore \triangle HFM$的面积是$12.5cm^{2},$
$\therefore$四边形 HFOM 的面积是$25cm^{2},$
$\therefore$五边形 FGHMN 的面积是$25cm^{2}.$