1.[问题背景]如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________.
[探索延伸]如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD.上述结论是否仍然成立？请说明理由.
[实际应用]如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且OE与OF之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________.
[探索延伸]如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD.上述结论是否仍然成立？请说明理由.
[实际应用]如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且OE与OF之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.
答案：
1. [问题背景]$EF=BE+FD$
[探索延伸]解:结论$EF=BE+FD$仍然成立.理由:
如答图①,延长$FD$到点$G$,使得$DG=BE$,连接$AG$.
$\because ∠B+∠ADC=180^{\circ },∠ADG+∠ADC=180^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠ADG.$
$\because AB=AD,\therefore △ABE\cong △ADG(SAS),$
$\therefore AE=AG,∠BAE=∠DAG.$
$\because ∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD,$
$\therefore ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠DAF+∠BAE=∠BAD - ∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD,\therefore ∠GAF=∠EAF.$
又$\because AG=AE,AF=AF,$
$\therefore △AFG\cong △AFE(SAS),\therefore EF=GF.$
$\because GF=DF+DG=DF+BE,\therefore EF=BE+FD.$
[实际应用]解:如答图②,连接$EF$,延长$AE$,$BF$相交于点$C$.
在四边形$AOBC$中,
$\because ∠AOB=30^{\circ }+90^{\circ }+(90^{\circ }-70^{\circ })=140^{\circ },∠FOE=70^{\circ }=\frac {1}{2}∠AOB$,又$\because OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90^{\circ }-30^{\circ })+(70^{\circ }+50^{\circ })=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ },$
$\therefore$ 实际应用符合探索延伸的条件,
$\therefore EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210$(海里),
即此时两舰艇之间的距离是210海里.
1. [问题背景]$EF=BE+FD$
[探索延伸]解:结论$EF=BE+FD$仍然成立.理由:
如答图①,延长$FD$到点$G$,使得$DG=BE$,连接$AG$.
$\because ∠B+∠ADC=180^{\circ },∠ADG+∠ADC=180^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠ADG.$
$\because AB=AD,\therefore △ABE\cong △ADG(SAS),$
$\therefore AE=AG,∠BAE=∠DAG.$
$\because ∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD,$
$\therefore ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠DAF+∠BAE=∠BAD - ∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD,\therefore ∠GAF=∠EAF.$
又$\because AG=AE,AF=AF,$
$\therefore △AFG\cong △AFE(SAS),\therefore EF=GF.$
$\because GF=DF+DG=DF+BE,\therefore EF=BE+FD.$
[实际应用]解:如答图②,连接$EF$,延长$AE$,$BF$相交于点$C$.
在四边形$AOBC$中,
$\because ∠AOB=30^{\circ }+90^{\circ }+(90^{\circ }-70^{\circ })=140^{\circ },∠FOE=70^{\circ }=\frac {1}{2}∠AOB$,又$\because OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90^{\circ }-30^{\circ })+(70^{\circ }+50^{\circ })=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ },$
$\therefore$ 实际应用符合探索延伸的条件,
$\therefore EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210$(海里),
即此时两舰艇之间的距离是210海里.