1.[综合实践]在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.如图①，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS).
[初步把握]如图②，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有
[深入研究]如图③，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE=CD；
[拓展延伸]如图④，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由.
[初步把握]如图②，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有
△ABD
≌△ACE
；[深入研究]如图③，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE=CD；
[深入研究]证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
[拓展延伸]如图④，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由.
[拓展延伸]解:BD=CE,BD⊥CE.理由:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中,
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中,
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE.
答案：1.[初步把握]△ABD △ACE
[深入研究]证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
[拓展延伸]解:BD=CE,BD⊥CE.理由:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中,
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE.
[深入研究]证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD.
[拓展延伸]解:BD=CE,BD⊥CE.理由:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中,
{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE.