1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$D$在边$AB$上，$AD = AC$，点$E$在边$BC$上，$CE = BD$，过点$E$作$EF \perp CD$交$AB$于点$F$.若$AF = 2$，$BC = 8$，则$DF$的长为______.
答案：
4 点拨:如答图，设CD与EF交于点K,延长AC到点G,使AG=AB,连接BG，延长EF和CA,交于点H.设∠BCD=α,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°−α,∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=90°−α,∴∠CAB=180°−2∠ACD=2α,∵EF⊥CD,∴∠CKF=90°,∴∠DFK=90°−(90°−α)=α,∠CEF=90°−α.∵AD=AC,AB=AG,∴∠ADC=∠ABG,∴CD//GB,BD=CG=CE,∴∠GBC=∠BCD=α,∴∠G=90°−α,∴∠G=∠CEF,∴∠H=α=∠GBC,∵∠CAB=2α,∴∠AFH=α,∴∠H=∠AFH,∴AH=AF=2,在△CEH和△CGB中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠CEH=∠G, \\ CE=CG, \\ ∠ECH=∠GCB=90°, \end{array} \right. $
∴△CEH≌△CGB(ASA),∴CH=CB=8,∴DF=AD−AF=AC−AH=CH−2AH=8−4=4.故答案为4.
4 点拨:如答图，设CD与EF交于点K,延长AC到点G,使AG=AB,连接BG，延长EF和CA,交于点H.设∠BCD=α,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°−α,∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=90°−α,∴∠CAB=180°−2∠ACD=2α,∵EF⊥CD,∴∠CKF=90°,∴∠DFK=90°−(90°−α)=α,∠CEF=90°−α.∵AD=AC,AB=AG,∴∠ADC=∠ABG,∴CD//GB,BD=CG=CE,∴∠GBC=∠BCD=α,∴∠G=90°−α,∴∠G=∠CEF,∴∠H=α=∠GBC,∵∠CAB=2α,∴∠AFH=α,∴∠H=∠AFH,∴AH=AF=2,在△CEH和△CGB中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠CEH=∠G, \\ CE=CG, \\ ∠ECH=∠GCB=90°, \end{array} \right. $
∴△CEH≌△CGB(ASA),∴CH=CB=8,∴DF=AD−AF=AC−AH=CH−2AH=8−4=4.故答案为4.
2. 如图，直线$PA // QB$，$\angle PAB$与$\angle QBA$的平分线交于点$C$，过点$C$作一条直线$l$与两直线$PA$，$QB$分别相交于点$D$，$E$.
(1)如图①，当直线$l$与$PA$垂直时，求证：$AD + BE = AB$.
(2)如图②，当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$都在$AB$同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$在$AB$异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出$AD$，$BE$，$AB$之间的数量关系.(不用证明)
(1)如图①，当直线$l$与$PA$垂直时，求证：$AD + BE = AB$.
(2)如图②，当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$都在$AB$同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$在$AB$异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出$AD$，$BE$，$AB$之间的数量关系.(不用证明)
答案：
(1)证明:如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵AC平分∠PAB,BC平分∠QBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵l⊥AP,PA//BQ,∴∠EDA=∠DEB=90°.
∵CF⊥AB,
∴∠AFC=90°,∴∠1+∠5=90°.
又∵∠2+∠6=90°,∴∠5=∠6.
在△CDA与△CFA中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{array} \right. $
∴△ACD≌△ACF,∴AD=AF,
同理BF=BE.∵AB=AF+BF,∴AB=AD+BE.
(2)解:(1)中结论成立,证明如下:
如答图②,在AB上截取AG=AD,连接CG.
∵AC平分∠PAB,∴∠DAC=∠CAB.
在△ADC与△AGC中,
$\left\{ \begin{array}{l} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{array} \right. $
∴△ADC≌△AGC(SAS),∴∠DCA=∠ACG.
∵AP//BQ,
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°.
∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE,
∴∠CAB+∠GBC=90°,
∴∠ACB=90°,即∠ACG+∠GCB=90°.
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°,
∴∠DCA+∠BCE=90°,∴∠GCB=∠ECB,
在△BGC与△BEC中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠ABC=∠CBE, \end{array} \right. $
∴△BGC≌△BEC(ASA),∴BG=BE,
∴AD+BE=AG+BG=AB.
(3)解:(1)中结论不成立.
当点D在射线AP上,点E在射线BQ的反向延长线上时(如答图③),AD−BE=AB;
当点D在射线AP的反向延长线上,点E在射线BQ上时(如答图④),BE−AD=AB.
(1)证明:如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵AC平分∠PAB,BC平分∠QBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵l⊥AP,PA//BQ,∴∠EDA=∠DEB=90°.
∵CF⊥AB,
∴∠AFC=90°,∴∠1+∠5=90°.
又∵∠2+∠6=90°,∴∠5=∠6.
在△CDA与△CFA中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{array} \right. $
∴△ACD≌△ACF,∴AD=AF,
同理BF=BE.∵AB=AF+BF,∴AB=AD+BE.
(2)解:(1)中结论成立,证明如下:
如答图②,在AB上截取AG=AD,连接CG.
∵AC平分∠PAB,∴∠DAC=∠CAB.
在△ADC与△AGC中,
$\left\{ \begin{array}{l} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{array} \right. $
∴△ADC≌△AGC(SAS),∴∠DCA=∠ACG.
∵AP//BQ,
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°.
∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE,
∴∠CAB+∠GBC=90°,
∴∠ACB=90°,即∠ACG+∠GCB=90°.
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°,
∴∠DCA+∠BCE=90°,∴∠GCB=∠ECB,
在△BGC与△BEC中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠ABC=∠CBE, \end{array} \right. $
∴△BGC≌△BEC(ASA),∴BG=BE,
∴AD+BE=AG+BG=AB.
(3)解:(1)中结论不成立.
当点D在射线AP上,点E在射线BQ的反向延长线上时(如答图③),AD−BE=AB;
当点D在射线AP的反向延长线上,点E在射线BQ上时(如答图④),BE−AD=AB.