1. 某乡村盛产葡萄,果大味美,甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客,在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案,甲采摘园的优惠方案:游客进园需购买门票,采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案:游客无须购买门票,采摘葡萄超过一定数量后,超过的部分打折销售.活动期间,某游客的葡萄采摘量为xkg,若在甲采摘园所需总费用为$y_{甲}$元,在乙采摘园所需总费用为$y_{乙}$元,$y_{甲},y_{乙}$与x之间的函数图象如图所示,则下列说法错误的是(
A. 甲采摘园的门票是60元
B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/kg
C. 乙采摘园超过10kg后,超过部分的价格是12元/kg
D. 若游客采摘18kg葡萄,则到甲、乙两个采摘园的总费用相同
D
)A. 甲采摘园的门票是60元
B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/kg
C. 乙采摘园超过10kg后,超过部分的价格是12元/kg
D. 若游客采摘18kg葡萄,则到甲、乙两个采摘园的总费用相同
答案：D 点拨:由图象可得,甲采摘园的门票是 60 元,故选项 A 不合题意. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是 $ 300 \div 10 = 30 $ (元/kg),故选项 B 不合题意. 乙采摘园超过 10 kg 后,超过部分的价格是 $ (480 - 300) \div (25 - 10) = 12 $ (元/kg),故选项 C 不合题意. 当 $ 0 ＜ x \leq 10 $ 时, $ y_{乙} = 30x $; 当 $ x ＞ 10 $ 时,设 $ y_{乙} $ 与 $ x $ 的函数表达式是 $ y_{乙} = kx + b $, 则 $ \begin{cases} 10k + b = 300, \\ 25k + b = 480, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 12, \\ b = 180, \end{cases} $ 即当 $ x ＞ 10 $ 时, $ y_{乙} $ 与 $ x $ 的函数表达式是 $ y_{乙} = 12x + 180 $. 由题意可得, $ y_{甲} = 60 + 30 \times 0.6x = 18x + 60 $. 当 $ 0 ＜ x \leq 10 $ 时,令 $ 18x + 60 = 30x $, 得 $ x = 5 $, 当 $ x ＞ 10 $ 时,令 $ 12x + 180 = 18x + 60 $, 得 $ x = 20 $, 故采摘 5 kg 或 20 kg 葡萄时,到甲、乙两个采摘园的总费用相同. 故选项 D 符合题意. 故选 D.
2. 甲、乙两人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车出发,沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差s(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.给出下列说法:①乙先到达科技馆;②乙的速度是甲的速度的2.5倍;③$b = 480$;④$a = 24$.其中正确的是____
①②③
. (填序号)答案：①②③ 点拨:由图象得出甲步行 720 米,需要 9 分钟, $ \therefore $ 甲的速度为 $ 720 \div 9 = 80 $ (米/分),当甲出发 15 分钟时,所行路程为 $ 15 \times 80 = 1200 $ (米),乙行了 $ 15 - 9 = 6 $ (分), $ \therefore $ 乙的速度为 $ 1200 \div 6 = 200 $ (米/分), $ \therefore 200 \div 80 = 2.5 $, 故②正确;甲出发 19 分钟后两人之间的距离越来越近,说明乙已经到达终点,则乙先到达科技馆,故①正确;乙到科技馆时,所用时间为 $ 19 - 9 = 10 $ (分),所行总路程为 $ 10 \times 200 = 2000 $ (米), $ \therefore $ 甲所用时间为 $ 2000 \div 80 = 25 $ (分),故 $ a $ 的值为 25,故④错误; $ \because $ 甲 19 分钟所行路程为 $ 19 \times 80 = 1520 $ (米), $ \therefore b = 2000 - 1520 = 480 $,故③正确. 故正确的有①②③.
3. 某商店准备购进A,B两种商品共100件,其中A商品的单价为16元,B商品的单价为10元.设购进A商品m件,要求购进A商品的数量不少于B商品数量的$\frac{3}{5}$,且总费用不超过1250元.
(1)该商店有几种购进方案?
(2)实际购进时,A商品每件下降$a(a＞0)$元,B商品每件上涨3a元,当购进这两种商品所需的最少费用为1248元时,求a的值.
(1)该商店有几种购进方案?
(2)实际购进时,A商品每件下降$a(a＞0)$元,B商品每件上涨3a元,当购进这两种商品所需的最少费用为1248元时,求a的值.
答案：解:(1)由购进 A 商品 $ m $ 件,知购进 B 商品 $ (100 - m) $ 件,依题意,得 $ \begin{cases} \frac{3}{5}(100 - m) \leq m, \\ 16m + 10(100 - m) \leq 1250, \end{cases} $ 解得 $ \frac{75}{2} \leq m \leq \frac{125}{3} $. 又 $ \because m $ 为正整数, $ \therefore m $ 可以取 38,39,40,41, $ \therefore $ 该商店有四种购进方案.
(2)设购进的总费用为 $ w $ 元,根据题意得 $ w = m(16 - a) + (100 - m)(10 + 3a) $, 化简得 $ w = (6 - 4a)m + 300a + 1000 $, 由(1)知 $ m = 38,39,40,41 $. 当 $ 6 - 4a ＞ 0 $, 即 $ 0 ＜ a ＜ \frac{3}{2} $ 时, $ w $ 随 $ m $ 的增大而增大, $ \therefore m = 38 $ 时, $ w $ 取最小值 1248, 则 $ 38(6 - 4a) + 300a + 1000 = 1248 $, 解得 $ a = \frac{5}{37} $; 当 $ 6 - 4a = 0 $, 即 $ a = \frac{3}{2} $ 时, $ w = 1450 ＞ 1248 $, 不合题意; 当 $ 6 - 4a ＜ 0 $, 即 $ a ＞ \frac{3}{2} $ 时, $ w $ 随 $ m $ 的增大而减小, $ \therefore $ 当 $ m = 41 $ 时, $ w $ 取最小值 1248, 则 $ 41(6 - 4a) + 300a + 1000 = 1248 $, 解得 $ a = \frac{1}{68} $, 与 $ a ＞ \frac{3}{2} $ 矛盾,舍去. 综上所述, $ a = \frac{5}{37} $.
(2)设购进的总费用为 $ w $ 元,根据题意得 $ w = m(16 - a) + (100 - m)(10 + 3a) $, 化简得 $ w = (6 - 4a)m + 300a + 1000 $, 由(1)知 $ m = 38,39,40,41 $. 当 $ 6 - 4a ＞ 0 $, 即 $ 0 ＜ a ＜ \frac{3}{2} $ 时, $ w $ 随 $ m $ 的增大而增大, $ \therefore m = 38 $ 时, $ w $ 取最小值 1248, 则 $ 38(6 - 4a) + 300a + 1000 = 1248 $, 解得 $ a = \frac{5}{37} $; 当 $ 6 - 4a = 0 $, 即 $ a = \frac{3}{2} $ 时, $ w = 1450 ＞ 1248 $, 不合题意; 当 $ 6 - 4a ＜ 0 $, 即 $ a ＞ \frac{3}{2} $ 时, $ w $ 随 $ m $ 的增大而减小, $ \therefore $ 当 $ m = 41 $ 时, $ w $ 取最小值 1248, 则 $ 41(6 - 4a) + 300a + 1000 = 1248 $, 解得 $ a = \frac{1}{68} $, 与 $ a ＞ \frac{3}{2} $ 矛盾,舍去. 综上所述, $ a = \frac{5}{37} $.