1.为了进一步探究三角形中线的作用,数学兴趣小组合作交流时,小丽在组内做了如下尝试:如图①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,延长AD到点M,使DM=AD,连接BM.
[探究发现](1)图①中AC与BM的数量关系是____,位置关系是____;
[初步应用](2)如图②,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围;
[探究提升](3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系,并说明理由;
(4)如图④,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF＞EF.
[探究发现](1)图①中AC与BM的数量关系是____,位置关系是____;
[初步应用](2)如图②,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围;
[探究提升](3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系,并说明理由;
(4)如图④,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF＞EF.
答案：
1. (1) $AC = BM$ $AC // BM$
(2) 解: 如答图①, 延长 $AD$ 到点 $M$, 使 $DM = AD$, 连接 $BM$。因为 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线, 所以 $BD = CD$。
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle MDB$ 中, $\begin{cases}CD = BD\\\angle CDA = \angle BDM\\AD = MD\end{cases}$
所以 $\triangle ADC \cong \triangle MDB(SAS)$, 所以 $BM = AC = 8$。
在 $\triangle ABM$ 中, $AB - BM ＜ AM ＜ AB + BM$,
所以 $12 - 8 ＜ AM ＜ 12 + 8$, 即 $4 ＜ 2AD ＜ 20$, 所以 $2 ＜ AD ＜ 10$, 即 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围为 $2 ＜ AD ＜ 10$。
(3) 解: $EF = 2AD$, $EF \perp AD$, 理由如下:
如答图②, 延长 $AD$ 到点 $M$, 使得 $DM = AD$, 连接 $BM$。由 (2) 可知, $\triangle BDM \cong \triangle CDA(SAS)$, 所以 $BM = AC$。
因为 $AC = AF$, 所以 $BM = AF$, 由 (1) 可知, $AC // BM$,
所以 $\angle BAC + \angle ABM = 180^{\circ}$, 因为 $AE \perp AB$, $AF \perp AC$,
所以 $\angle BAE = \angle FAC = 90^{\circ}$, 所以 $\angle BAC + \angle EAF = 180^{\circ}$,
所以 $\angle ABM = \angle EAF$, 在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle EAF$ 中,
$\begin{cases}AB = EA\\\angle ABM = \angle EAF\\BM = AF\end{cases}$ 所以 $\triangle ABM \cong \triangle EAF(SAS)$,
所以 $AM = EF$, $\angle BAM = \angle E$, 因为 $AD = DM$,
所以 $AM = 2AD$, 所以 $EF = 2AD$。
因为 $\angle EAM = \angle BAM + \angle BAE = \angle E + \angle APE$,
所以 $\angle APE = \angle BAE = 90^{\circ}$, 所以 $EF \perp AD$。
(4) 证明: 如答图③, 延长 $ED$ 到点 $G$, 使 $GD = ED$, 连接 $CG$, $GF$。
因为 $D$ 是 $BC$ 边上的中点, 所以 $CD = BD$。
在 $\triangle CDG$ 和 $\triangle BDE$ 中, $\begin{cases}GD = ED\\\angle CDG = \angle BDE\\CD = BD\end{cases}$
所以 $\triangle CDG \cong \triangle BDE(SAS)$, 所以 $CG = BE$。
因为 $CG + CF ＞ GF$, 所以 $BE + CF ＞ GF$。
因为 $DE \perp DF$, $GD = ED$,
所以 $DF$ 垂直平分 $EG$, 所以 $GF = EF$, 所以 $BE + CF ＞ EF$。
1. (1) $AC = BM$ $AC // BM$
(2) 解: 如答图①, 延长 $AD$ 到点 $M$, 使 $DM = AD$, 连接 $BM$。因为 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线, 所以 $BD = CD$。
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle MDB$ 中, $\begin{cases}CD = BD\\\angle CDA = \angle BDM\\AD = MD\end{cases}$
所以 $\triangle ADC \cong \triangle MDB(SAS)$, 所以 $BM = AC = 8$。
在 $\triangle ABM$ 中, $AB - BM ＜ AM ＜ AB + BM$,
所以 $12 - 8 ＜ AM ＜ 12 + 8$, 即 $4 ＜ 2AD ＜ 20$, 所以 $2 ＜ AD ＜ 10$, 即 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围为 $2 ＜ AD ＜ 10$。
(3) 解: $EF = 2AD$, $EF \perp AD$, 理由如下:
如答图②, 延长 $AD$ 到点 $M$, 使得 $DM = AD$, 连接 $BM$。由 (2) 可知, $\triangle BDM \cong \triangle CDA(SAS)$, 所以 $BM = AC$。
因为 $AC = AF$, 所以 $BM = AF$, 由 (1) 可知, $AC // BM$,
所以 $\angle BAC + \angle ABM = 180^{\circ}$, 因为 $AE \perp AB$, $AF \perp AC$,
所以 $\angle BAE = \angle FAC = 90^{\circ}$, 所以 $\angle BAC + \angle EAF = 180^{\circ}$,
所以 $\angle ABM = \angle EAF$, 在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle EAF$ 中,
$\begin{cases}AB = EA\\\angle ABM = \angle EAF\\BM = AF\end{cases}$ 所以 $\triangle ABM \cong \triangle EAF(SAS)$,
所以 $AM = EF$, $\angle BAM = \angle E$, 因为 $AD = DM$,
所以 $AM = 2AD$, 所以 $EF = 2AD$。
因为 $\angle EAM = \angle BAM + \angle BAE = \angle E + \angle APE$,
所以 $\angle APE = \angle BAE = 90^{\circ}$, 所以 $EF \perp AD$。
(4) 证明: 如答图③, 延长 $ED$ 到点 $G$, 使 $GD = ED$, 连接 $CG$, $GF$。
因为 $D$ 是 $BC$ 边上的中点, 所以 $CD = BD$。
在 $\triangle CDG$ 和 $\triangle BDE$ 中, $\begin{cases}GD = ED\\\angle CDG = \angle BDE\\CD = BD\end{cases}$
所以 $\triangle CDG \cong \triangle BDE(SAS)$, 所以 $CG = BE$。
因为 $CG + CF ＞ GF$, 所以 $BE + CF ＞ GF$。
因为 $DE \perp DF$, $GD = ED$,
所以 $DF$ 垂直平分 $EG$, 所以 $GF = EF$, 所以 $BE + CF ＞ EF$。