1. 在$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边长分别是$a$，$b$，$c$。判断下列$\triangle ABC$是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角。
(1)$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$； (2)$a = 5$，$b = 7$，$c = 9$；
(3)$a = 15$，$b = 8$，$c = 17$； (4)$a = 41$，$b = 9$，$c = 40$。
(1)$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$； (2)$a = 5$，$b = 7$，$c = 9$；
(3)$a = 15$，$b = 8$，$c = 17$； (4)$a = 41$，$b = 9$，$c = 40$。
答案：解: (1) $\because a = 2$，$b = 3$，$c = 4$，
$\therefore a^{2} = 4$，$b^{2} = 9$，$c^{2} = 16$。
$\because 4 + 9 = 13 \neq 16$，$\therefore a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$不是直角三角形。
(2) $\because a = 5$，$b = 7$，$c = 9$，$\therefore a^{2} = 25$，$b^{2} = 49$，$c^{2} = 81$。
$\because 25 + 49 = 74 \neq 81$，$\therefore a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$不是直角三角形。
(3) $\because a = 15$，$b = 8$，$c = 17$，
$\therefore a^{2} = 225$，$b^{2} = 64$，$c^{2} = 289$。
$\because 225 + 64 = 289$，$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$。
(4) $\because a = 41$，$b = 9$，$c = 40$，
$\therefore a^{2} = 1681$，$b^{2} = 81$，$c^{2} = 1600$。
$\because 81 + 1600 = 1681$，$\therefore b^{2} + c^{2} = a^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle A = 90^{\circ}$。
$\therefore a^{2} = 4$，$b^{2} = 9$，$c^{2} = 16$。
$\because 4 + 9 = 13 \neq 16$，$\therefore a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$不是直角三角形。
(2) $\because a = 5$，$b = 7$，$c = 9$，$\therefore a^{2} = 25$，$b^{2} = 49$，$c^{2} = 81$。
$\because 25 + 49 = 74 \neq 81$，$\therefore a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$不是直角三角形。
(3) $\because a = 15$，$b = 8$，$c = 17$，
$\therefore a^{2} = 225$，$b^{2} = 64$，$c^{2} = 289$。
$\because 225 + 64 = 289$，$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$。
(4) $\because a = 41$，$b = 9$，$c = 40$，
$\therefore a^{2} = 1681$，$b^{2} = 81$，$c^{2} = 1600$。
$\because 81 + 1600 = 1681$，$\therefore b^{2} + c^{2} = a^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle A = 90^{\circ}$。
2. 已知$\triangle ABC$的三边长分别是$a$，$b$，$c$，且$a = m^{2}-1$，$b = 2m$，$c = m^{2}+1$，则$\triangle ABC$是直角三角形吗？请证明你的结论。
答案：解: $\triangle ABC$是直角三角形，证明如下:
$\because a^{2} + b^{2} = (m^{2} - 1)^{2} + (2m)^{2} = m^{4} - 2m^{2} + 1 + 4m^{2} = m^{4} + 2m^{2} + 1 = (m^{2} + 1)^{2} = c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
$\because a^{2} + b^{2} = (m^{2} - 1)^{2} + (2m)^{2} = m^{4} - 2m^{2} + 1 + 4m^{2} = m^{4} + 2m^{2} + 1 = (m^{2} + 1)^{2} = c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
3. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$边上一点，连接$AD$，若$AB = 10$，$AC = 17$，$BD = 6$，$AD = 8$。
(1)求证：$\triangle ABD$是直角三角形；
(2)求$BC$的长。
(1)求证：$\triangle ABD$是直角三角形；
(2)求$BC$的长。
答案：(1) 证明: $\because BD = 6$，$AD = 8$，$AB = 10$，
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 = AB^{2}$，
$\therefore \triangle ABD$是直角三角形。
(2) 解: 由(1)知，$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}$，
$\because AD = 8$，$AC = 17$，$\therefore CD = 15$，
$\because BD = 6$，$\therefore BC = BD + CD = 6 + 15 = 21$。
$\therefore BD^{2} + AD^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 = AB^{2}$，
$\therefore \triangle ABD$是直角三角形。
(2) 解: 由(1)知，$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}$，
$\because AD = 8$，$AC = 17$，$\therefore CD = 15$，
$\because BD = 6$，$\therefore BC = BD + CD = 6 + 15 = 21$。
4. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$BC = 15$，$CD = 7$，$DA = 24$，求四边形$ABCD$的面积。
答案：
解: 连接$AC$。
$\because \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 625 = 25^{2}$。
$\because 7^{2} + 24^{2} = 25^{2}$，$\therefore CD^{2} + DA^{2} = AC^{2}$，
$\therefore \triangle ADC$是直角三角形，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$= \triangle ABC$的面积$+ \triangle ADC$的面积
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 7 × 24 = 234$。
解: 连接$AC$。
$\because \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 625 = 25^{2}$。
$\because 7^{2} + 24^{2} = 25^{2}$，$\therefore CD^{2} + DA^{2} = AC^{2}$，
$\therefore \triangle ADC$是直角三角形，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$= \triangle ABC$的面积$+ \triangle ADC$的面积
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 7 × 24 = 234$。