9. 如图,在一个三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式子,如果图中任意三个“○”中的式子之和均相等,那么 $ a $ 的值为______
1
.答案：1
解析：
由题意得：
$\begin{cases}(3 - a) + 2a + b = 2a + 2 + b \\(3 - a) + 2 + b = 2a + 2 + b\end{cases}$
化简第一个方程：$3 + a + b = 2a + 2 + b$，解得$a = 1$
化简第二个方程：$5 - a + b = 2a + 2 + b$，解得$a = 1$
综上，$a = 1$
1
$\begin{cases}(3 - a) + 2a + b = 2a + 2 + b \\(3 - a) + 2 + b = 2a + 2 + b\end{cases}$
化简第一个方程：$3 + a + b = 2a + 2 + b$，解得$a = 1$
化简第二个方程：$5 - a + b = 2a + 2 + b$，解得$a = 1$
综上，$a = 1$
1
10.(2024秋·吉安期中)如图,在数轴上 $ A $ 点表示数 $ - 3 $,$ B $ 点表示数1,$ C $ 点表示数9. 若点 $ A $、点 $ B $ 和点 $ C $ 分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动. 若 $ t $ 秒后,$ A $,$ B $,$ C $ 三点中恰有一点为另外两点的中点,则 $ t $ 的值为
1或4或16
.答案：1或4或16
解析：
t秒后，A点表示的数为$-3 - 2t$，B点表示的数为$1 - t$，C点表示的数为$9 - 4t$。
情况一：B为A、C中点
$2(1 - t) = (-3 - 2t) + (9 - 4t)$
$2 - 2t = 6 - 6t$
$4t = 4$
$t = 1$
情况二：A为B、C中点
$2(-3 - 2t) = (1 - t) + (9 - 4t)$
$-6 - 4t = 10 - 5t$
$t = 16$
情况三：C为A、B中点
$2(9 - 4t) = (-3 - 2t) + (1 - t)$
$18 - 8t = -2 - 3t$
$-5t = -20$
$t = 4$
综上，t的值为1或4或16。
情况一：B为A、C中点
$2(1 - t) = (-3 - 2t) + (9 - 4t)$
$2 - 2t = 6 - 6t$
$4t = 4$
$t = 1$
情况二：A为B、C中点
$2(-3 - 2t) = (1 - t) + (9 - 4t)$
$-6 - 4t = 10 - 5t$
$t = 16$
情况三：C为A、B中点
$2(9 - 4t) = (-3 - 2t) + (1 - t)$
$18 - 8t = -2 - 3t$
$-5t = -20$
$t = 4$
综上，t的值为1或4或16。
11.(16分)解下列方程.
(1)$ 4 ( x - 1 ) + 5 = 3 ( x + 2 ) $； (2)$ \frac { x - 4 } { 2 } - ( 3x + 4 ) = - \frac { 15 } { 2 } $；
(3)$ \frac { 2x - 3 } { 0.5 } = \frac { 2x } { 3 } - 1 $； (4)$ 1 + \frac { x - 2 } { 6 } = \frac { 3x + 7 } { 4 } $.
(1)$ 4 ( x - 1 ) + 5 = 3 ( x + 2 ) $； (2)$ \frac { x - 4 } { 2 } - ( 3x + 4 ) = - \frac { 15 } { 2 } $；
(3)$ \frac { 2x - 3 } { 0.5 } = \frac { 2x } { 3 } - 1 $； (4)$ 1 + \frac { x - 2 } { 6 } = \frac { 3x + 7 } { 4 } $.
答案：解:(1)去括号,得4x-4+5=3x+6,
移项、合并同类项,得4x-3x=5,解得x=5.
(2)去分母,得x-4-2(3x+4)=-15,
去括号,得x-4-6x-8=-15,
移项,得x-6x=-15+4+8,
合并同类项,得-5x=-3,解得$x=\frac{3}{5}$.
(3)去分母,得6(2x-3)=2x-3,
去括号,得12x-18=2x-3,
移项、合并同类项,得10x=15,解得$x=\frac{3}{2}$.
(4)去分母,得12+2(x-2)=3(3x+7),
去括号,得12+2x-4=9x+21,
移项,得2x-9x=21-12+4,解得$x=-\frac{13}{7}$.
移项、合并同类项,得4x-3x=5,解得x=5.
(2)去分母,得x-4-2(3x+4)=-15,
去括号,得x-4-6x-8=-15,
移项,得x-6x=-15+4+8,
合并同类项,得-5x=-3,解得$x=\frac{3}{5}$.
(3)去分母,得6(2x-3)=2x-3,
去括号,得12x-18=2x-3,
移项、合并同类项,得10x=15,解得$x=\frac{3}{2}$.
(4)去分母,得12+2(x-2)=3(3x+7),
去括号,得12+2x-4=9x+21,
移项,得2x-9x=21-12+4,解得$x=-\frac{13}{7}$.
12.(10分)若 $ M $,$ N $ 代表两个整式,其中 $ M = 2a ^ { 2 } - 3 $,$ N $ 与 $ M $ 的和为 $ 5a ^ { 2 } + 2a $.
(1)求整式 $ N $；
(2)若 $ a $ 是方程 $ 2 ( x - 1 ) + 3 = x $ 的解,求整式 $ N $ 的值.
(1)求整式 $ N $；
(2)若 $ a $ 是方程 $ 2 ( x - 1 ) + 3 = x $ 的解,求整式 $ N $ 的值.
答案：解:(1)$N=(5a^{2}+2a)-(2a^{2}-3)$
$=5a^{2}+2a-2a^{2}+3$
$=3a^{2}+2a+3$,
故整式N为$3a^{2}+2a+3$.
(2)由2(x-1)+3=x得,2x-2+3=x,
解得x=-1.
因为a是方程2(x-1)+3=x的解,
所以a=-1,
所以$3a^{2}+2a+3=3×(-1)^{2}+2×(-1)+3=4$.
故整式N的值为4.
$=5a^{2}+2a-2a^{2}+3$
$=3a^{2}+2a+3$,
故整式N为$3a^{2}+2a+3$.
(2)由2(x-1)+3=x得,2x-2+3=x,
解得x=-1.
因为a是方程2(x-1)+3=x的解,
所以a=-1,
所以$3a^{2}+2a+3=3×(-1)^{2}+2×(-1)+3=4$.
故整式N的值为4.