7. 已知线段$AB = 10cm$,直线 AB 上有一点 C,且$BC = 4cm$,M 是线段 AC 的中点,则 AM 的长为 (
A.7cm
B.3cm
C.3cm 或 7cm
D.7cm 或 9cm
C
)A.7cm
B.3cm
C.3cm 或 7cm
D.7cm 或 9cm
答案：C
解析：
当点C在线段AB上时：
AC=AB-BC=10-4=6cm，
M是AC中点，AM=AC/2=6/2=3cm；
当点C在线段AB延长线上时：
AC=AB+BC=10+4=14cm，
M是AC中点，AM=AC/2=14/2=7cm；
AM的长为3cm或7cm。
C
AC=AB-BC=10-4=6cm，
M是AC中点，AM=AC/2=6/2=3cm；
当点C在线段AB延长线上时：
AC=AB+BC=10+4=14cm，
M是AC中点，AM=AC/2=14/2=7cm；
AM的长为3cm或7cm。
C
8. 如图,点 B 是线段 AC 上的点,点 D 是线段 BC 的中点,若$AB = 4cm,AC = 10cm$,则$CD = $
3
cm.答案：3
解析：
因为点B是线段AC上的点，$AB = 4\,\text{cm}$，$AC = 10\,\text{cm}$，所以$BC=AC - AB=10 - 4=6\,\text{cm}$。
因为点D是线段BC的中点，所以$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6 = 3\,\text{cm}$。
3
因为点D是线段BC的中点，所以$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6 = 3\,\text{cm}$。
3
9. 如图,C,D 是线段 AB 上的两点(点 C 在点 D 的左侧),E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,若$AB = 10,CD = 2$,则线段 EF 的长为
4
.答案：4
解析：
设 $ AC = x $，$ DB = y $。
因为 $ AB = 10 $，$ CD = 2 $，且 $ C $ 在 $ D $ 左侧，所以 $ AC + CD + DB = AB $，即 $ x + 2 + y = 10 $，得 $ x + y = 8 $。
$ AD = AC + CD = x + 2 $，$ E $ 是 $ AD $ 中点，所以 $ AE = \frac{1}{2}AD = \frac{x + 2}{2} $。
$ BC = CD + DB = 2 + y $，$ F $ 是 $ BC $ 中点，所以 $ BF = \frac{1}{2}BC = \frac{2 + y}{2} $。
$ EF = AB - AE - BF = 10 - \frac{x + 2}{2} - \frac{2 + y}{2} = 10 - \frac{x + y + 4}{2} $。
将 $ x + y = 8 $ 代入，得 $ EF = 10 - \frac{8 + 4}{2} = 10 - 6 = 4 $。
4
因为 $ AB = 10 $，$ CD = 2 $，且 $ C $ 在 $ D $ 左侧，所以 $ AC + CD + DB = AB $，即 $ x + 2 + y = 10 $，得 $ x + y = 8 $。
$ AD = AC + CD = x + 2 $，$ E $ 是 $ AD $ 中点，所以 $ AE = \frac{1}{2}AD = \frac{x + 2}{2} $。
$ BC = CD + DB = 2 + y $，$ F $ 是 $ BC $ 中点，所以 $ BF = \frac{1}{2}BC = \frac{2 + y}{2} $。
$ EF = AB - AE - BF = 10 - \frac{x + 2}{2} - \frac{2 + y}{2} = 10 - \frac{x + y + 4}{2} $。
将 $ x + y = 8 $ 代入，得 $ EF = 10 - \frac{8 + 4}{2} = 10 - 6 = 4 $。
4
10. 如图,B 是线段 AC 上一点,D 是 AB 的三等分点(点 D 靠近点 A),E 是 BC 的中点,若$BE = \frac{1}{5}AC = 3cm$,求 DE 的长.
答案：解:因为BE=$\frac{1}{5}$AC=3cm,
所以AC=5BE=15cm
因为E是BC的中点，
所以BC=2BE=6cm,
则AB=AC−BC=15−6=9(cm),
又因为D是AB的三等分点(点D靠近点A)，
所以BD=$\frac{2}{3}$AB=6cm,
所以DE=BD+BE=6+3=9(cm).
所以AC=5BE=15cm
因为E是BC的中点，
所以BC=2BE=6cm,
则AB=AC−BC=15−6=9(cm),
又因为D是AB的三等分点(点D靠近点A)，
所以BD=$\frac{2}{3}$AB=6cm,
所以DE=BD+BE=6+3=9(cm).
11. 如图①,C,D 是线段 AB 上的两点,$AB = 24,CD = 8,BD = 3AC$.
(1)求线段 AC 的长;
(2)如图②,若 M 为 AC 的中点,点 N 在线段 BD 上,且$DN = \frac{1}{3}AD$,求线段 MN 的长.
(1)求线段 AC 的长;
(2)如图②,若 M 为 AC 的中点,点 N 在线段 BD 上,且$DN = \frac{1}{3}AD$,求线段 MN 的长.
答案：(1)因为AB=24,CD=8,
所以AC+BD=AB−CD=16,
又因为BD=3AC,
所以4AC=16,即AC=4.
(2)因为DN=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$(AC+CD)=$\frac{1}{3}$×(4+8)=4,又因为M为AC的中点，所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2.
所以MN=MC+CD+DN
=2+8+4
=14.
所以AC+BD=AB−CD=16,
又因为BD=3AC,
所以4AC=16,即AC=4.
(2)因为DN=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$(AC+CD)=$\frac{1}{3}$×(4+8)=4,又因为M为AC的中点，所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2.
所以MN=MC+CD+DN
=2+8+4
=14.
12. 如图①,点 C 在线段 AB 上,M,N 分别是线段 AC,BC 的中点,且满足$AC = a,BC = b$.
(1)若$a = 4cm,b = 6cm$,求线段 MN 的长;
(2)若点 C 为线段 AB 上任意一点,其他条件不变,你能猜想出线段 MN 的长度吗? 直接写出你的猜想结果;
(3)若点 C 在线段 AB 的延长线上,其他条件不变,你能猜想出线段 MN 的长度吗? 请在图②中画出图形,写出你的猜想并说明理由.
(1)若$a = 4cm,b = 6cm$,求线段 MN 的长;
(2)若点 C 为线段 AB 上任意一点,其他条件不变,你能猜想出线段 MN 的长度吗? 直接写出你的猜想结果;
(3)若点 C 在线段 AB 的延长线上,其他条件不变,你能猜想出线段 MN 的长度吗? 请在图②中画出图形,写出你的猜想并说明理由.
答案：
(1)因为M,N分别是线段AC,BC的中点，
所以MC=$\frac{1}{2}$AC,CN=$\frac{1}{2}$BC,
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×6 =5(cm),
所以线段MN的长为5cm.
(2)MN=$\frac{1}{2}$(a+b).
(3)如答图,MN=$\frac{1}{2}$(a - b).理由如下:
MN=MC−NC=$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$(a−b).
(1)因为M,N分别是线段AC,BC的中点，
所以MC=$\frac{1}{2}$AC,CN=$\frac{1}{2}$BC,
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×6 =5(cm),
所以线段MN的长为5cm.
(2)MN=$\frac{1}{2}$(a+b).
(3)如答图,MN=$\frac{1}{2}$(a - b).理由如下:
MN=MC−NC=$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$(a−b).