6. 已知线段$AB = 5$,C为直线AB上一点,且$AC:BC = 3:2$,D为线段AC的中点,则线段BD的长为 (
A.3.5
B.3.5或7.5
C.3.5或2.5
D.2.5或7.5
C
)A.3.5
B.3.5或7.5
C.3.5或2.5
D.2.5或7.5
答案：C
解析：
情况一：C在线段AB上
$AC=\frac{3}{3+2}AB=\frac{3}{5}×5=3$
$BC=AB-AC=5-3=2$
D为AC中点，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$
$BD=AB-AD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}=3.5$
情况二：C在线段AB延长线上
$AC=\frac{3}{3-2}AB=3×5=15$
$BC=AC-AB=15-5=10$
D为AC中点，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{15}{2}$
$BD=AD-AB=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}=2.5$
综上，BD的长为3.5或2.5，答案选C。
$AC=\frac{3}{3+2}AB=\frac{3}{5}×5=3$
$BC=AB-AC=5-3=2$
D为AC中点，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$
$BD=AB-AD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}=3.5$
情况二：C在线段AB延长线上
$AC=\frac{3}{3-2}AB=3×5=15$
$BC=AC-AB=15-5=10$
D为AC中点，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{15}{2}$
$BD=AD-AB=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}=2.5$
综上，BD的长为3.5或2.5，答案选C。
7. 如图,C,D为线段AB上的两点,$AC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}DB$,E是线段DB的中点,若$AB = 10cm$,则CE的长是 (
A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm
C
)A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm
答案：C
解析：
设$AC = x$，则$CD = 2x$，$DB = 2x$。
$AB = AC + CD + DB = x + 2x + 2x = 5x = 10$，解得$x = 2$。
$AC = 2cm$，$CD = 4cm$，$DB = 4cm$。
E是DB中点，$DE=\frac{1}{2}DB = 2cm$。
$CE = CD + DE = 4 + 2 = 6cm$。
C
$AB = AC + CD + DB = x + 2x + 2x = 5x = 10$，解得$x = 2$。
$AC = 2cm$，$CD = 4cm$，$DB = 4cm$。
E是DB中点，$DE=\frac{1}{2}DB = 2cm$。
$CE = CD + DE = 4 + 2 = 6cm$。
C
8. (2024春·嘉定区期末)如图,M是线段AC的中点,B是线段MC上一点,若$\frac{AB}{BC} = \frac{3}{2}$,$MB = 10$,则$AC = $
100
.答案：100
解析：
设$AB = 3k$，$BC = 2k$，则$AC=AB + BC=3k + 2k=5k$。
因为$M$是线段$AC$的中点，所以$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}k$。
又因为$MB=AB - AM$，所以$3k-\frac{5}{2}k = 10$，即$\frac{1}{2}k=10$，解得$k = 20$。
则$AC=5k=5×20 = 100$。
100
因为$M$是线段$AC$的中点，所以$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}k$。
又因为$MB=AB - AM$，所以$3k-\frac{5}{2}k = 10$，即$\frac{1}{2}k=10$，解得$k = 20$。
则$AC=5k=5×20 = 100$。
100
9. 如图,A,B,C,D四点在同一条直线上. 若线段AD被点B,C分成了$1:2:3$三部分,M,N分别是线段AB,CD的中点,且$MN = 8cm$,则$AD = $
12
cm.答案：12
解析：
设 $ AB = x \, \text{cm} $，则 $ BC = 2x \, \text{cm} $，$ CD = 3x \, \text{cm} $。
$ AD = AB + BC + CD = x + 2x + 3x = 6x \, \text{cm} $。
$ M $ 是 $ AB $ 中点，$ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2} \, \text{cm} $。
$ N $ 是 $ CD $ 中点，$ ND = \frac{1}{2}CD = \frac{3x}{2} \, \text{cm} $。
$ MN = AD - AM - ND = 6x - \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = 6x - 2x = 4x $。
由 $ MN = 8 \, \text{cm} $，得 $ 4x = 8 $，解得 $ x = 2 $。
$ AD = 6x = 6 × 2 = 12 \, \text{cm} $。
12
$ AD = AB + BC + CD = x + 2x + 3x = 6x \, \text{cm} $。
$ M $ 是 $ AB $ 中点，$ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2} \, \text{cm} $。
$ N $ 是 $ CD $ 中点，$ ND = \frac{1}{2}CD = \frac{3x}{2} \, \text{cm} $。
$ MN = AD - AM - ND = 6x - \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = 6x - 2x = 4x $。
由 $ MN = 8 \, \text{cm} $，得 $ 4x = 8 $，解得 $ x = 2 $。
$ AD = 6x = 6 × 2 = 12 \, \text{cm} $。
12
10. 已知A,B,C,D四点在同一直线上,点D在线段AB上.
(1) 如图,若线段$AB = 24$,C是线段AB的中点,$CD = \frac{1}{3}BD$,求线段CD的长度；
(2) 若线段$AB = 21a$,C是线段AB上一点,且满足$AC = 2BC$,$AD:BD = 3:4$,求线段CD的长度(用含a的式子表示).
(1) 如图,若线段$AB = 24$,C是线段AB的中点,$CD = \frac{1}{3}BD$,求线段CD的长度；
(2) 若线段$AB = 21a$,C是线段AB上一点,且满足$AC = 2BC$,$AD:BD = 3:4$,求线段CD的长度(用含a的式子表示).
答案：(1)因为线段AB=24,C是线段AB的中点，
所以AC=BC=1/2AB=12.
因为CD=1/3BD,
所以CD=1/4BC=1/4×12=3.
(2)因为点D在线段AB上,AB=21a,AD:BD=3:4,所以AD=9a,BD=12a.
因为AB=21a,AC=2BC,
所以AC=14a,BC=7a,
所以CD=AC−AD=14a−9a=5a.
故线段CD的长度为5a.
所以AC=BC=1/2AB=12.
因为CD=1/3BD,
所以CD=1/4BC=1/4×12=3.
(2)因为点D在线段AB上,AB=21a,AD:BD=3:4,所以AD=9a,BD=12a.
因为AB=21a,AC=2BC,
所以AC=14a,BC=7a,
所以CD=AC−AD=14a−9a=5a.
故线段CD的长度为5a.
11. 如图,线段$AB = 20cm$,C为AB的中点,点P从点A出发,以2cm/s的速度沿线段AB向右运动,到点B停止；点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿线段AB向左运动,到点A停止. 若P,Q两点同时出发,当其中一点停止运动时,另一点也随之停止. 设点P的运动时间为$x(x ＞ 0)s$.
(1)$AC = $______cm.
(2) 是否存在某一时刻,使得C,P,Q这三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在,求出所有满足条件的x的值；若不存在,请说明理由.
(1)
(2)
(1)$AC = $______cm.
(2) 是否存在某一时刻,使得C,P,Q这三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在,求出所有满足条件的x的值；若不存在,请说明理由.
(1)
10
(2)
存在，当x=6或7.5时，C,P,Q三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点。
答案：(1)10
(2)解:存在.
依题意得:AP=2xcm,BQ=xcm
由(1)可知:AC=BC=10cm
分三种情况讨论:
(ⅰ)当C为PQ的中点时,PC=QC,如答图①,
因为PC=AC−AP=(10−2x)cm,QC=BC−BQ=(10−x)cm,
所以10−2x=10−x,
解得:x=0(不合题意，舍去).
(ⅱ)当P为CQ的中点时,PC=PQ,如答图②.
因为PC=AP−AC=(2x−10)cm,
所以BP=AB−AP=(20−2x)cm,
所以PQ=BP−BQ=20−2x−x=(20−3x)cm,
所以2x−10=20−3x,
解得:x=6.
(ⅲ)当Q为PC的中点时,PC=2CQ,如答图③.
因为PC=AP−AC=(2x−10)cm,CQ=BC−BQ=(10−x)cm,
所以2x−10=2(10−x),
解得:x=7.5.
综上所述:当x=6或7.5时,C,P,Q三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点.
(2)解:存在.
依题意得:AP=2xcm,BQ=xcm
由(1)可知:AC=BC=10cm
分三种情况讨论:
(ⅰ)当C为PQ的中点时,PC=QC,如答图①,
因为PC=AC−AP=(10−2x)cm,QC=BC−BQ=(10−x)cm,
所以10−2x=10−x,
解得:x=0(不合题意，舍去).
(ⅱ)当P为CQ的中点时,PC=PQ,如答图②.
因为PC=AP−AC=(2x−10)cm,
所以BP=AB−AP=(20−2x)cm,
所以PQ=BP−BQ=20−2x−x=(20−3x)cm,
所以2x−10=20−3x,
解得:x=6.
(ⅲ)当Q为PC的中点时,PC=2CQ,如答图③.
因为PC=AP−AC=(2x−10)cm,CQ=BC−BQ=(10−x)cm,
所以2x−10=2(10−x),
解得:x=7.5.
综上所述:当x=6或7.5时,C,P,Q三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点.