1. 已知下列一组数：$1,\frac {3}{4},\frac {5}{9},\frac {7}{16},\frac {9}{25},... $,则第n个数为(
A.$\frac {n}{2n-1}$
B.$\frac {n^{2}-4}{n^{2}}$
C.$\frac {2n-1}{n^{2}}$
D.$\frac {2n+1}{n^{2}}$
C
)A.$\frac {n}{2n-1}$
B.$\frac {n^{2}-4}{n^{2}}$
C.$\frac {2n-1}{n^{2}}$
D.$\frac {2n+1}{n^{2}}$
答案：C
解析：
观察这组数：$1=\frac{1}{1^2}$，$\frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}$，$\frac{5}{9}=\frac{5}{3^2}$，$\frac{7}{16}=\frac{7}{4^2}$，$\frac{9}{25}=\frac{9}{5^2}$，...
分子依次为：1，3，5，7，9，...，规律为$2n - 1$；
分母依次为：$1^2$，$2^2$，$3^2$，$4^2$，$5^2$，...，规律为$n^2$。
则第$n$个数为$\frac{2n - 1}{n^2}$。
C
分子依次为：1，3，5，7，9，...，规律为$2n - 1$；
分母依次为：$1^2$，$2^2$，$3^2$，$4^2$，$5^2$，...，规律为$n^2$。
则第$n$个数为$\frac{2n - 1}{n^2}$。
C
2. (2024秋·闵行区期中)找规律：$a,4a^{3},9a^{5},16a^{7},... $若n为正整数,则第n个式子是(
A.$2^{n}a^{n+2}$
B.$n^{2}a^{n+1}$
C.$n^{2}a^{n+2}$
D.$n^{2}a^{2n-1}$
D
)A.$2^{n}a^{n+2}$
B.$n^{2}a^{n+1}$
C.$n^{2}a^{n+2}$
D.$n^{2}a^{2n-1}$
答案：D
解析：
观察式子系数：1，4，9，16，...，规律为$1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},...$，第$n$个式子系数是$n^{2}$；
观察式子$a$的指数：1，3，5，7，...，规律为$2×1 - 1,2×2 - 1,2×3 - 1,2×4 - 1,...$，第$n$个式子$a$的指数是$2n - 1$；
综上，第$n$个式子是$n^{2}a^{2n - 1}$。
D
观察式子$a$的指数：1，3，5，7，...，规律为$2×1 - 1,2×2 - 1,2×3 - 1,2×4 - 1,...$，第$n$个式子$a$的指数是$2n - 1$；
综上，第$n$个式子是$n^{2}a^{2n - 1}$。
D
3. (2024秋·东台期中)观察下列算式：$2^{1}= 2,2^{2}= 4,2^{3}= 8,2^{4}= 16,2^{5}= 32,2^{6}= 64,2^{7}= 128,2^{8}= 256,... 用你发现的规律写出2^{2024}$的末位数字：______
6
.答案：6
解析：
观察算式可知，$2^n$的末位数字以$2,4,8,6$为一个周期循环出现。
周期长度为$4$，计算$2024÷4 = 506$，余数为$0$。
所以$2^{2024}$的末位数字与$2^4$的末位数字相同，为$6$。
6
周期长度为$4$，计算$2024÷4 = 506$，余数为$0$。
所以$2^{2024}$的末位数字与$2^4$的末位数字相同，为$6$。
6
4. 观察下面三行数：
$-3,9,-27,81,-243,... $；
$-5,7,-29,79,-245,... $；
$1,-3,9,-27,81,... $.
(1)第一行数的第n个数是
(2)第二、三行的数与第一行对应的数分别有什么关系？
(3)取每行第6个数计算它们的和.
$-3,9,-27,81,-243,... $；
$-5,7,-29,79,-245,... $；
$1,-3,9,-27,81,... $.
(1)第一行数的第n个数是
$(-3)^n$
；(2)第二、三行的数与第一行对应的数分别有什么关系？
解:第二行的数是第一行对应的数减去2得到的,第三行的数是第一行对应的数除以-3得到的.
(3)取每行第6个数计算它们的和.
解:由(1)(2)可得,第一行的第6个数为$(-3)^6$,第二行的第6个数为$(-3)^6-2$,第三行的第6个数为$(-3)^5$,$(-3)^6+(-3)^6-2+(-3)^5=729+729-2+(-243)=1213$.
答案：(1)$(-3)^n$(2)解:第二行的数是第一行对应的数减去2得到的,第三行的数是第一行对应的数除以-3得到的.(3)解:由(1)(2)可得,第一行的第6个数为$(-3)^6$,第二行的第6个数为$(-3)^6-2$,第三行的第6个数为$(-3)^5$,$(-3)^6+(-3)^6-2+(-3)^5=729+729-2+(-243)=1213$.
5. (2024秋·启东期中)对于数133,规定第一次操作为$1^{3}+3^{3}+3^{3}= 55$,第二次操作为$5^{3}+5^{3}= 250$.按此规律操作下去,则第2024次操作后得到的数是(
A.250
B.133
C.55
D.24
A
)A.250
B.133
C.55
D.24
答案：A
解析：
第一次操作：$1^{3}+3^{3}+3^{3}=1 + 27 + 27=55$
第二次操作：$5^{3}+5^{3}=125 + 125=250$
第三次操作：$2^{3}+5^{3}+0^{3}=8 + 125 + 0=133$
第四次操作：$1^{3}+3^{3}+3^{3}=55$
操作结果以55,250,133循环，周期为3
$2024÷3=674\cdots\cdots2$，余数为2
第2024次操作后得到的数是250
A
第二次操作：$5^{3}+5^{3}=125 + 125=250$
第三次操作：$2^{3}+5^{3}+0^{3}=8 + 125 + 0=133$
第四次操作：$1^{3}+3^{3}+3^{3}=55$
操作结果以55,250,133循环，周期为3
$2024÷3=674\cdots\cdots2$，余数为2
第2024次操作后得到的数是250
A
6. 已知下列等式：$2^{2}-1^{2}= 3;3^{2}-2^{2}= 5;4^{2}-3^{2}= 7,... $.
(1)请仔细观察前三个等式的规律,写出第9个等式：
(2)请你找出规律,第n个等式为
(3)利用(2)中发现的规律计算：$1+3+5+... +101$.
(1)请仔细观察前三个等式的规律,写出第9个等式：
$10^2-9^2=19$
；(2)请你找出规律,第n个等式为
$(n+1)^2-n^2=2n+1$
；(用含n的代数式表示)(3)利用(2)中发现的规律计算：$1+3+5+... +101$.
解:因为当$2n+1=101$时,$n=50$,所以$1+3+5+\cdots+101$$=1+2^2-1^2+3^2-2^2+\cdots+51^2-50^2$$=51^2=2601$.
答案：(1)$10^2-9^2=19$(2)$(n+1)^2-n^2=2n+1$(3)解:因为当$2n+1=101$时,$n=50$,所以$1+3+5+\cdots+101$$=1+2^2-1^2+3^2-2^2+\cdots+51^2-50^2$$=51^2=2601$.