1. (2024 秋·嵩县期末)如图,长方形的长为 $ a $,宽为 $ 2b $.
(1)用含 $ a $, $ b $ 的代数式表示图中阴影部分的面积 $ S $;
(2)当 $ a = 5 \text{cm} $, $ b = 2 \text{cm} $ 时,求阴影部分的面积 $ S $ 的值. ($ \pi $ 取 3.14)
(1)用含 $ a $, $ b $ 的代数式表示图中阴影部分的面积 $ S $;
(2)当 $ a = 5 \text{cm} $, $ b = 2 \text{cm} $ 时,求阴影部分的面积 $ S $ 的值. ($ \pi $ 取 3.14)
答案：1.解:(1)因为长方形的长为a,宽为2b,所以$ S_{阴影}=2ab-\pi b^{2} $.(2)当$ a=5cm,b=2cm $时,$ S_{阴影}=2× 5× 2-3.14× 4=7.44(cm^{2}) $,即阴影部分的面积S的值是$ 7.44cm^{2} $.
解析：
(1)长方形的面积为长乘宽，即$a×2b = 2ab$。由图可知，两个空白部分可组成一个直径为$2b$的圆，其半径为$b$，面积为$\pi b^2$。所以阴影部分面积$S=2ab-\pi b^2$。
(2)当$a = 5\,\text{cm}$，$b = 2\,\text{cm}$时，$S=2×5×2-3.14×2^2$
$=20 - 3.14×4$
$=20 - 12.56$
$=7.44\,\text{cm}^2$。
即阴影部分面积$S$的值是$7.44\,\text{cm}^2$。
(2)当$a = 5\,\text{cm}$，$b = 2\,\text{cm}$时，$S=2×5×2-3.14×2^2$
$=20 - 3.14×4$
$=20 - 12.56$
$=7.44\,\text{cm}^2$。
即阴影部分面积$S$的值是$7.44\,\text{cm}^2$。
2. 如图是由长为 4、宽为 3 的长方形与边长为 $ x(x ＜ 3) $ 的正方形拼成的图形.
(1)当 $ x = 2 $ 时,求阴影部分的面积;
(2)用含 $ x $ 的代数式表示图中阴影部分的面积,并化简.
(1)当 $ x = 2 $ 时,求阴影部分的面积;
(2)用含 $ x $ 的代数式表示图中阴影部分的面积,并化简.
答案：2.解:(1)当$ x=2 $时,阴影部分的面积为$ 2× 2+4× 3-\frac{1}{2}× 2× 2-\frac{1}{2}× 3× (2+4)-\frac{1}{2}× 4× (3-2)=4+12-2-9-2=3 $.(2)阴影部分的面积为$ x^{2}+4× 3-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}× 3× (x+4)-\frac{1}{2}× 4× (3-x)=x^{2}+12-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-6-6+2x=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x $.
3. (2024 秋·海门区期中)如图,在长方形中剪下两个大小相同的正方形(有关线段的长如图所示),留下一个“T”形图形(阴影部分).
(1)用含 $ x $, $ y $ 的代数式表示“T”形图形的面积,并化简;
(2)已知 $ y = 3x = 12 \text{m} $,在“T”形区域铺上单价为 20 元/$ \text{m}^2 $ 的草坪,请计算草坪的造价.
(1)用含 $ x $, $ y $ 的代数式表示“T”形图形的面积,并化简;
(2)已知 $ y = 3x = 12 \text{m} $,在“T”形区域铺上单价为 20 元/$ \text{m}^2 $ 的草坪,请计算草坪的造价.
答案：3.解:(1)"T"形图形的面积为$ 2(x+y+x+y)+xy=2xy+2x^{2}+2xy+xy=2x^{2}+5xy $.(2)因为$ y=3x=12m $,所以$ x=4m,y=12m $.所以草坪的造价为$ (2× 4^{2}+5× 4× 12)× 20=5440 $(元).
解析：
(1)长方形的长为$y + x + y = x + 2y$，宽为$2x + y$，面积为$(x + 2y)(2x + y)$。两个正方形的边长均为$y$，面积和为$2y^2$。“T”形图形的面积为长方形面积减去两个正方形面积，即$(x + 2y)(2x + y)-2y^2$，展开化简得$2x^2+5xy$。
(2)因为$y = 12\,\text{m}$，$3x = 12\,\text{m}$，所以$x = 4\,\text{m}$。将$x = 4$，$y = 12$代入$2x^2 + 5xy$，得$2×4^2+5×4×12 = 272\,\text{m}^2$。草坪造价为$272×20 = 5440$元。
(1)$2x^2 + 5xy$
(2)$5440$元
(2)因为$y = 12\,\text{m}$，$3x = 12\,\text{m}$，所以$x = 4\,\text{m}$。将$x = 4$，$y = 12$代入$2x^2 + 5xy$，得$2×4^2+5×4×12 = 272\,\text{m}^2$。草坪造价为$272×20 = 5440$元。
(1)$2x^2 + 5xy$
(2)$5440$元