11. (2024 秋·杭州期中)若 $ ( m - 3 ) x ^ { | m - 2 | } + 6 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程,则 $ m $ 的值为
1
.答案：1
解析：
因为方程$(m - 3)x^{|m - 2|} + 6 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$|m - 2| = 1$且$m - 3 \neq 0$。
由$|m - 2| = 1$可得：$m - 2 = 1$或$m - 2 = -1$，解得$m = 3$或$m = 1$。
又因为$m - 3 \neq 0$，所以$m \neq 3$，故$m = 1$。
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由$|m - 2| = 1$可得：$m - 2 = 1$或$m - 2 = -1$，解得$m = 3$或$m = 1$。
又因为$m - 3 \neq 0$，所以$m \neq 3$，故$m = 1$。
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12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ a x + b = c $ 的解是 $ x = 1 $,则 $ | c - a - b - 1 | = $
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.答案：1
解析：
因为方程$ax + b = c$的解是$x = 1$，所以将$x = 1$代入方程得$a×1 + b = c$，即$a + b = c$。
则$c - a - b = 0$，所以$|c - a - b - 1| = |0 - 1| = 1$。
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则$c - a - b = 0$，所以$|c - a - b - 1| = |0 - 1| = 1$。
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13. 已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac { 1 } { 2025 } x - 1 = b $ 的解为 $ x = 3 $,那么关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac { 1 } { 2025 } ( x + 1 ) - 1 = b $ 的解为 $ x = $
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.答案：2
解析：
因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x - 1 = b$的解为$x = 3$，所以$\frac{1}{2025}×3 - 1 = b$。
对于方程$\frac{1}{2025}(x + 1) - 1 = b$，设$y = x + 1$，则方程可化为$\frac{1}{2025}y - 1 = b$。
因为$\frac{1}{2025}y - 1 = b$与$\frac{1}{2025}x - 1 = b$形式相同，且后者解为$x = 3$，所以$y = 3$，即$x + 1 = 3$，解得$x = 2$。
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对于方程$\frac{1}{2025}(x + 1) - 1 = b$，设$y = x + 1$，则方程可化为$\frac{1}{2025}y - 1 = b$。
因为$\frac{1}{2025}y - 1 = b$与$\frac{1}{2025}x - 1 = b$形式相同，且后者解为$x = 3$，所以$y = 3$，即$x + 1 = 3$，解得$x = 2$。
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14. 【阅读理解】 $ | x | $ 的几何意义是在数轴上数 $ x $ 对应的点与原点的距离,即 $ | x | = | x - 0 | $.
①解方程 $ | x | = 2 $,容易看出,在数轴上与原点距离为 2 的点表示的数为 $ \pm 2 $,即该方程的解为 $ x = \pm 2 $.
②在方程 $ | x - 1 | = 2 $ 中,$ x $ 的值就是数轴上到 1 对应的点的距离为 2 的点表示的数,所以该方程的解是 $ x = 3 $ 或 $ x = - 1 $.
【学以致用】(1)求方程 $ | x | = 5 $ 的解;
(2)求方程 $ | x - 2 | = 3 $ 的解.
①解方程 $ | x | = 2 $,容易看出,在数轴上与原点距离为 2 的点表示的数为 $ \pm 2 $,即该方程的解为 $ x = \pm 2 $.
②在方程 $ | x - 1 | = 2 $ 中,$ x $ 的值就是数轴上到 1 对应的点的距离为 2 的点表示的数,所以该方程的解是 $ x = 3 $ 或 $ x = - 1 $.
【学以致用】(1)求方程 $ | x | = 5 $ 的解;
(2)求方程 $ | x - 2 | = 3 $ 的解.
答案：解:(1)方程|x|=5中,x的值就是数轴上到原点的距离为5的点表示的数,为±5,即方程|x|=5的解是x=5或x=-5.(2)方程|x-2|=3中,x的值就是数轴上到2对应的点的距离为3的点表示的数,所以|x-2|=3的解就是x=5或x=-1.
15. 观察下列关于 $ x $ 的方程及其解的特征.
$ 2 x - \frac { x + 1 } { 2 } = 1 $ 的解为 $ x = 1 $;
$ 3 x - \frac { x + 2 } { 3 } = 2 $ 的解为 $ x = 1 $;
$ 4 x - \frac { x + 3 } { 4 } = 3 $ 的解为 $ x = 1 $;
…
根据观察得到的规律,解答下列问题.
(1)方程 $ 11 x - \frac { x + 10 } { 11 } = 10 $ 的解为
(2)猜想方程 $ 100 x - \frac { x + 99 } { 100 } = 99 $ 的解,并证明;
(3)按此规律排列的第 2025 个方程为
$ 2 x - \frac { x + 1 } { 2 } = 1 $ 的解为 $ x = 1 $;
$ 3 x - \frac { x + 2 } { 3 } = 2 $ 的解为 $ x = 1 $;
$ 4 x - \frac { x + 3 } { 4 } = 3 $ 的解为 $ x = 1 $;
…
根据观察得到的规律,解答下列问题.
(1)方程 $ 11 x - \frac { x + 10 } { 11 } = 10 $ 的解为
$x=1$
;(2)猜想方程 $ 100 x - \frac { x + 99 } { 100 } = 99 $ 的解,并证明;
解:方程$100x-\frac{x+99}{100}=99$的解为$x=1$.证明:$100x-\frac{x+99}{100}=99$,$10000x-x-99=9900$,$9999x=9999$,$x=1$.
(3)按此规律排列的第 2025 个方程为
$2026x-\frac{x+2025}{2026}=2025$
.答案：(1)x=1(2)解:方程100x-$\frac{x+99}{100}$=99的解为x=1.证明:100x-$\frac{x+99}{100}$=99,10000x-x-99=9900,9999x=9999,x=1.(3)2026x-$\frac{x+2025}{2026}$=2025