9. 如图,●,■,▲分别表示三种不同的物体,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么第三架天平的右边应放的物体是 (
D
)答案：D
解析：
设●,■,▲的质量分别为$x$,$y$,$z$。
由图1得：$2x = y + z$
由图2得：$x + y = z$
将$z = x + y$代入$2x = y + z$，得$2x = y + x + y$，即$x = 2y$
则$z = 2y + y = 3y$
第三架天平左边：$x + z = 2y + 3y = 5y$
故右边应放5个■。
D
由图1得：$2x = y + z$
由图2得：$x + y = z$
将$z = x + y$代入$2x = y + z$，得$2x = y + x + y$，即$x = 2y$
则$z = 2y + y = 3y$
第三架天平左边：$x + z = 2y + 3y = 5y$
故右边应放5个■。
D
10. 若 $ 3x^2 - 4x - 5 = 7 $,则 $ x^2 - \frac{4}{3}x = $
4
.答案：4
解析：
由$3x^2 - 4x - 5 = 7$，得$3x^2 - 4x = 12$，两边同时除以$3$，得$x^2 - \frac{4}{3}x = 4$。
4
4
11. 有下列说法：①由 $ a = b $,得 $ 5 - 2a = 5 - 2b $；②由 $ a = b $,得 $ ac = bc $；③由 $ a = b $,得 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $；④由 $ \frac{a}{2c} = \frac{b}{3c} $,得 $ 3a = 2b $；⑤由 $ a^2 = b^2 $,得 $ a = b $. 其中正确的是
①②④
.(填序号)答案：①②④
12. 在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)如果 $ -\frac{x}{10} = \frac{y}{5} $,那么 $ x = $
(2)如果 $ -2x = 2y $,那么 $ x = $
(3)如果 $ \frac{2}{3}x = 4 $,那么 $ x = $
(4)如果 $ x = 3x + 2 $,那么 $ x - $
(1)如果 $ -\frac{x}{10} = \frac{y}{5} $,那么 $ x = $
-2y
,根据等式的性质2,两边都乘-10
；(2)如果 $ -2x = 2y $,那么 $ x = $
-y
,根据等式的性质2,两边都乘$-\frac{1}{2}$或两边都除以-2
；(3)如果 $ \frac{2}{3}x = 4 $,那么 $ x = $
6
,根据等式的性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
；(4)如果 $ x = 3x + 2 $,那么 $ x - $
3x
$ = 2 $,根据等式的性质1,两边都减去3x
.答案：(1)-2y 等式的性质2,两边都乘-10
(2)-y 等式的性质2,两边都乘$-\frac{1}{2}$或两边都除以-2
(3)6 等式的性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)3x 等式的性质1,两边都减去3x
(2)-y 等式的性质2,两边都乘$-\frac{1}{2}$或两边都除以-2
(3)6 等式的性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
(4)3x 等式的性质1,两边都减去3x
13. 利用等式的性质,解下列方程.
(1)$ 2x - 2 = 5 $； (2)$ 3 = 2x + 1 $；
(3)$ \frac{1}{3}x + 3 = -6 $； (4)$ 5x + 1 = 2x + 10 $.
(1)$ 2x - 2 = 5 $； (2)$ 3 = 2x + 1 $；
(3)$ \frac{1}{3}x + 3 = -6 $； (4)$ 5x + 1 = 2x + 10 $.
答案：(1)$x=\frac{7}{2}$ (2)x=1 (3)x=-27 (4)x=3
解析：
(1)方程两边同时加2，得$2x=7$，方程两边同时除以2，得$x=\frac{7}{2}$；
(2)方程两边同时减1，得$2=2x$，方程两边同时除以2，得$x=1$；
(3)方程两边同时减3，得$\frac{1}{3}x=-9$，方程两边同时乘3，得$x=-27$；
(4)方程两边同时减$2x$，得$3x + 1=10$，方程两边同时减1，得$3x=9$，方程两边同时除以3，得$x=3$。
(2)方程两边同时减1，得$2=2x$，方程两边同时除以2，得$x=1$；
(3)方程两边同时减3，得$\frac{1}{3}x=-9$，方程两边同时乘3，得$x=-27$；
(4)方程两边同时减$2x$，得$3x + 1=10$，方程两边同时减1，得$3x=9$，方程两边同时除以3，得$x=3$。
14.(2024 秋·兴化期中)若 $ a - b ＞ 0 $,则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $,则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $,则 $ a ＜ b $,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
(1)试比较代数式 $ 5m^2 - 4m + 2 $ 与 $ 4m^2 - 4m - 7 $ 的值之间的大小关系；
(2)已知代数式 $ 3a + 2b $ 与 $ 2a + 3b $ 的值相等,试用等式的性质比较 $ a $,$ b $ 的大小关系；
(3)已知 $ \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m $,试用等式的性质比较 $ m $,$ n $ 的大小关系.
(1)试比较代数式 $ 5m^2 - 4m + 2 $ 与 $ 4m^2 - 4m - 7 $ 的值之间的大小关系；
(2)已知代数式 $ 3a + 2b $ 与 $ 2a + 3b $ 的值相等,试用等式的性质比较 $ a $,$ b $ 的大小关系；
(3)已知 $ \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m $,试用等式的性质比较 $ m $,$ n $ 的大小关系.
答案：(1)$(5m^{2}-4m+2)-(4m^{2}-4m-7)=5m^{2}-4m+2-4m^{2}+4m+7=m^{2}+9$.
因为不论m为何值,都有$m^{2}+9＞0$.
所以$5m^{2}-4m+2＞4m^{2}-4m-7$.
(2)因为3a+2b=2a+3b,
所以等式两边同时减去2a+3b,得$3a+2b-(2a+3b)=0$,整理得a-b=0,即a=b.
(3)因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,
根据等式的性质两边同时乘6,
得3m-2n-6=3n-2m,
整理得5m-5n=6,即5(m-n)=6,
所以$m-n=\frac{6}{5}＞0$,即m＞n.
因为不论m为何值,都有$m^{2}+9＞0$.
所以$5m^{2}-4m+2＞4m^{2}-4m-7$.
(2)因为3a+2b=2a+3b,
所以等式两边同时减去2a+3b,得$3a+2b-(2a+3b)=0$,整理得a-b=0,即a=b.
(3)因为$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,
根据等式的性质两边同时乘6,
得3m-2n-6=3n-2m,
整理得5m-5n=6,即5(m-n)=6,
所以$m-n=\frac{6}{5}＞0$,即m＞n.