8. 一天,妙妙去问奶奶的年龄,奶奶说：“我若是你现在这么大,你还要 35 年才出生；你若是我现在这么大,我就 118 岁啦！”请问奶奶现在的年龄是
67
岁。答案：67
解析：
设妙妙现在的年龄为$x$岁，奶奶现在的年龄为$y$岁。
年龄差为$y - x$。
奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生”，此时奶奶年龄为$x$岁，妙妙的年龄为$x - (y - x) = 2x - y$，因为妙妙还要35年才出生，所以$2x - y = -35$。
奶奶又说：“你若是我现在这么大，我就118岁啦”，此时妙妙年龄为$y$岁，奶奶的年龄为$y + (y - x) = 2y - x$，所以$2y - x = 118$。
联立方程组：
$\begin{cases}2x - y = -35 \\2y - x = 118\end{cases}$
由第一个方程得$y = 2x + 35$，代入第二个方程：
$2(2x + 35) - x = 118$
$4x + 70 - x = 118$
$3x = 48$
$x = 16$
则$y = 2×16 + 35 = 67$
67
年龄差为$y - x$。
奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生”，此时奶奶年龄为$x$岁，妙妙的年龄为$x - (y - x) = 2x - y$，因为妙妙还要35年才出生，所以$2x - y = -35$。
奶奶又说：“你若是我现在这么大，我就118岁啦”，此时妙妙年龄为$y$岁，奶奶的年龄为$y + (y - x) = 2y - x$，所以$2y - x = 118$。
联立方程组：
$\begin{cases}2x - y = -35 \\2y - x = 118\end{cases}$
由第一个方程得$y = 2x + 35$，代入第二个方程：
$2(2x + 35) - x = 118$
$4x + 70 - x = 118$
$3x = 48$
$x = 16$
则$y = 2×16 + 35 = 67$
67
9. (2024 春·黄浦区期中) $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 是有理数,现规定一种运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $,那么当 $\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ (1 - x) & 2 \end{vmatrix} = 8 $ 时,$ x= $
0.5
。答案：0.5
解析：
根据题中规定的运算，$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ (1 - x) & 2 \end{vmatrix} = 5×2 - 4×(1 - x)$。
已知该式等于$8$，则可列出方程：
$5×2 - 4×(1 - x) = 8$
计算得：
$10 - 4 + 4x = 8$
$6 + 4x = 8$
$4x = 8 - 6$
$4x = 2$
$x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
已知该式等于$8$，则可列出方程：
$5×2 - 4×(1 - x) = 8$
计算得：
$10 - 4 + 4x = 8$
$6 + 4x = 8$
$4x = 8 - 6$
$4x = 2$
$x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
10. 解方程。
(1) $ 15 - (7 - 5x) = 2x + (5 - 3x) $；
(2) $ 4y - 3(20 - y) = 6y - 7(11 - y) $；
(3) $ 4(2 - x) - 12x = 24 - 3(x + 1) $；
(4) $ 6(1 - x) - 5(x - 2) = 2(2x + 3) $。
(1) $ 15 - (7 - 5x) = 2x + (5 - 3x) $；
(2) $ 4y - 3(20 - y) = 6y - 7(11 - y) $；
(3) $ 4(2 - x) - 12x = 24 - 3(x + 1) $；
(4) $ 6(1 - x) - 5(x - 2) = 2(2x + 3) $。
答案：解:(1)去括号,得15-7+5x=2x+5-3x,
移项、合并同类项,得6x=-3,
解得x=-1/2.
(2)去括号,得4y-60+3y=6y-77+7y,
移项、合并同类项,得6y=17,
解得y=17/6.
(3)去括号,得8-4x-12x=24-3x-3,
移项、合并同类项,得-13x=13,
解得x=-1.
(4)去括号,得6-6x-5x+10=4x+6,
移项、合并同类项,得-15x=-10,
系数化为1,得x=2/3.
移项、合并同类项,得6x=-3,
解得x=-1/2.
(2)去括号,得4y-60+3y=6y-77+7y,
移项、合并同类项,得6y=17,
解得y=17/6.
(3)去括号,得8-4x-12x=24-3x-3,
移项、合并同类项,得-13x=13,
解得x=-1.
(4)去括号,得6-6x-5x+10=4x+6,
移项、合并同类项,得-15x=-10,
系数化为1,得x=2/3.
11. 小红在一家文具店买了一种大笔记本 4 个和一种小笔记本 6 个,共用了 62 元。已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3 元,求该文具店中这种大笔记本的单价。
答案：解:设该文具店中这种大笔记本的单价是x元,则小笔记本的单价是(x-3)元.
根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8.
答:该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8.
答:该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
12. (2024 秋·杭州期中)数学实验室：如图,点 $ A $,$ B $ 在数轴上分别表示有理数 $ a $,$ b $,$ A $,$ B $ 两点之间的距离表示为 $ AB $,在数轴上 $ A $,$ B $ 两点之间的距离 $ AB = |a - b| $。利用数形结合思想回答下列问题：
(1) 数轴上数 $ x $ 对应的点到原点的距离为 4,$ x $ 对应的点可能在原点的左边 4 个单位长度处,此时 $ x $ 的值为
(2) $ x $ 与 3 对应的两点之间的距离可表示为
(3) 若点 $ A $ 表示的数是 -1,点 $ B $ 与点 $ A $ 间的距离是 5,且点 $ B $ 在点 $ A $ 的右侧,动点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发沿数轴正方向运动,点 $ P $ 的运动速度是每秒 3 个单位长度,点 $ Q $ 的运动速度是每秒 1 个单位长度,求运动几秒后,$ PQ = 1 $？(请写出必要的求解过程)
(1) 数轴上数 $ x $ 对应的点到原点的距离为 4,$ x $ 对应的点可能在原点的左边 4 个单位长度处,此时 $ x $ 的值为
-4
,$ x $ 对应的点也可能在原点的右边 4 个单位长度处,此时 $ x $ 的值为4
；(2) $ x $ 与 3 对应的两点之间的距离可表示为
|x-3|
,结合上面的理解,若 $ |x - 3| = 2 $,则 $ x = $5或1
；(3) 若点 $ A $ 表示的数是 -1,点 $ B $ 与点 $ A $ 间的距离是 5,且点 $ B $ 在点 $ A $ 的右侧,动点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发沿数轴正方向运动,点 $ P $ 的运动速度是每秒 3 个单位长度,点 $ Q $ 的运动速度是每秒 1 个单位长度,求运动几秒后,$ PQ = 1 $？(请写出必要的求解过程)
解:因为点A表示的数是-1,点B与点A间的距离是5,且点B在点A的右侧,所以点B表示的数是4.
设运动时间为t秒,
因为点P,Q分别从点A,B同时出发沿数轴正方向运动,点P的运动速度是每秒3个单位长度,点Q的运动速度是每秒1个单位长度,
所以点P表示的数为-1+3t,点Q表示的数为4+t.
①当点P在点Q的左侧时,
4+t-(-1+3t)=1,解得:t=2;
②当点P在点Q的右侧时,
-1+3t-(4+t)=1,解得:t=3.
所以运动2秒或3秒后,PQ=1.
设运动时间为t秒,
因为点P,Q分别从点A,B同时出发沿数轴正方向运动,点P的运动速度是每秒3个单位长度,点Q的运动速度是每秒1个单位长度,
所以点P表示的数为-1+3t,点Q表示的数为4+t.
①当点P在点Q的左侧时,
4+t-(-1+3t)=1,解得:t=2;
②当点P在点Q的右侧时,
-1+3t-(4+t)=1,解得:t=3.
所以运动2秒或3秒后,PQ=1.
答案：(1)-4 4
(2)|x-3| 5或1
(3)解:因为点A表示的数是-1,点B与点A间的距离是5,且点B在点A的右侧,所以点B表示的数是4.
设运动时间为t秒,
因为点P,Q分别从点A,B同时出发沿数轴正方向运动,点P的运动速度是每秒3个单位长度,点Q的运动速度是每秒1个单位长度,
所以点P表示的数为-1+3t,点Q表示的数为4+t.
①当点P在点Q的左侧时,
4+t-(-1+3t)=1,解得:t=2;
②当点P在点Q的右侧时,
-1+3t-(4+t)=1,解得:t=3.
所以运动2秒或3秒后,PQ=1.
(2)|x-3| 5或1
(3)解:因为点A表示的数是-1,点B与点A间的距离是5,且点B在点A的右侧,所以点B表示的数是4.
设运动时间为t秒,
因为点P,Q分别从点A,B同时出发沿数轴正方向运动,点P的运动速度是每秒3个单位长度,点Q的运动速度是每秒1个单位长度,
所以点P表示的数为-1+3t,点Q表示的数为4+t.
①当点P在点Q的左侧时,
4+t-(-1+3t)=1,解得:t=2;
②当点P在点Q的右侧时,
-1+3t-(4+t)=1,解得:t=3.
所以运动2秒或3秒后,PQ=1.