9.(16 分)解下列方程.
(1)$ \frac{3x}{4} - 2 = \frac{1}{3}x + 1 $； (2)$ 5(x - 5) - 2(x - 12) = 2 $；
(3)$ \frac{3x + 5}{4} - \frac{4x - 2}{3} = 1 $； (4)$ \frac{2}{7}(3x + 7) = 2 - \frac{3}{2}x $.
(1)$ \frac{3x}{4} - 2 = \frac{1}{3}x + 1 $； (2)$ 5(x - 5) - 2(x - 12) = 2 $；
(3)$ \frac{3x + 5}{4} - \frac{4x - 2}{3} = 1 $； (4)$ \frac{2}{7}(3x + 7) = 2 - \frac{3}{2}x $.
答案：(1)$\frac{3x}{4}-2=\frac{1}{3}x+1$，去分母,得$9x-24=4x+12$，移项,得$9x-4x=12+24$，合并同类项,得$5x=36$，解得$x=7.2$.(2)$5(x-5)-2(x-12)=2$，去括号,得$5x-25-2x+24=2$，移项,得$5x-2x=2+25-24$，合并同类项,得$3x=3$，解得$x=1$.(3)$\frac{3x+5}{4}-\frac{4x-2}{3}=1$，去分母,得$3(3x+5)-4(4x-2)=12$，去括号,得$9x+15-16x+8=12$，移项,得$9x-16x=12-15-8$，合并同类项,得$-7x=-11$，解得$x=\frac{11}{7}$.(4)$\frac{2}{7}(3x+7)=2-\frac{3}{2}x$，去分母,得$4(3x+7)=28-21x$，去括号,得$12x+28=28-21x$，移项、合并同类项,得$33x=0$，解得$x=0$.
10.(10 分)关于 $ x $ 的方程 $ mx + \frac{7}{3} = x + \frac{4}{3} $ 有正整数解,求整数 $ m $ 的值.
答案：解:由$mx+\frac{7}{3}=x+\frac{4}{3}$,解得$x=\frac{1}{1-m}$.因为x是正整数,则$1-m$是1的正因数，故$1-m=1$,解得$m=0$.
解析：
解:由$mx+\frac{7}{3}=x+\frac{4}{3}$，移项得$mx - x=\frac{4}{3}-\frac{7}{3}$，合并同类项得$(m - 1)x=-1$，解得$x=\frac{1}{1 - m}$。
因为$x$是正整数，所以$\frac{1}{1 - m}$是正整数，即$1 - m$是$1$的正因数，故$1 - m=1$，解得$m=0$。
因为$x$是正整数，所以$\frac{1}{1 - m}$是正整数，即$1 - m$是$1$的正因数，故$1 - m=1$，解得$m=0$。
11.(12 分)(2024 秋·江都区期中)小明在解关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1 $ 时,由于在去分母的过程中等号右边的 -1 漏乘 6,所以得到方程的解为 $ x = -2 $. 求 $ a $ 的值及方程的正确解.
答案：解:按照小明的解法可得去分母后为$2(2x-1)=3(x+a)-1$，将$x=-2$代入方程,得$2×(-2×2-1)=3(-2+a)-1$，即$-10=-7+3a$,解得$a=-1$.将$a=-1$代入方程,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x-1}{2}-1$，去分母,得$2(2x-1)=3(x-1)-6$，整理,得$4x-3x=-9+2$，解得:$x=-7$.
解析：
解：小明去分母时，等号右边的$-1$漏乘$6$，则方程变为$2(2x - 1)=3(x + a)-1$。
将$x = -2$代入上式，得$2×[2×(-2)-1]=3(-2 + a)-1$，即$2×(-5)=-6 + 3a - 1$，$-10 = 3a - 7$，解得$a=-1$。
将$a = -1$代入原方程$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + a}{2}-1$，得$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x - 1}{2}-1$。
去分母，两边同乘$6$，得$2(2x - 1)=3(x - 1)-6$。
去括号，得$4x - 2 = 3x - 3 - 6$。
移项、合并同类项，得$4x - 3x=-9 + 2$，解得$x=-7$。
综上，$a$的值为$-1$，方程的正确解为$x=-7$。
将$x = -2$代入上式，得$2×[2×(-2)-1]=3(-2 + a)-1$，即$2×(-5)=-6 + 3a - 1$，$-10 = 3a - 7$，解得$a=-1$。
将$a = -1$代入原方程$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + a}{2}-1$，得$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x - 1}{2}-1$。
去分母，两边同乘$6$，得$2(2x - 1)=3(x - 1)-6$。
去括号，得$4x - 2 = 3x - 3 - 6$。
移项、合并同类项，得$4x - 3x=-9 + 2$，解得$x=-7$。
综上，$a$的值为$-1$，方程的正确解为$x=-7$。
12.(14 分)(2024 春·海淀区期末)已知 $ ax^{2} + bx + c $ 是关于 $ x $ 的多项式,记为 $ P(x) $.
我们规定：$ P(x) $ 的导出多项式为 $ 2ax + b $,记为 $ Q(x) $.
例如：若 $ P(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $,则 $ P(x) $ 的导出多项式 $ Q(x) = 2×3x - 2 = 6x - 2 $.
根据以上信息,解答下列问题：
(1)若 $ P(x) = x^{2} - 4x $,则 $ Q(x) = $______
(2)若 $ P(x) = 2x^{2} + 4(2x - 1) $,求关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = 3x $ 的解；
(3)已知 $ P(x) = ax^{2} - 3x + 2 $ 是关于 $ x $ 的二次多项式,$ Q(x) $ 为 $ P(x) $ 的导出多项式,若关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = -x $ 的解为正整数,求整数 $ a $ 的值.
我们规定：$ P(x) $ 的导出多项式为 $ 2ax + b $,记为 $ Q(x) $.
例如：若 $ P(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $,则 $ P(x) $ 的导出多项式 $ Q(x) = 2×3x - 2 = 6x - 2 $.
根据以上信息,解答下列问题：
(1)若 $ P(x) = x^{2} - 4x $,则 $ Q(x) = $______
2x-4
；(2)若 $ P(x) = 2x^{2} + 4(2x - 1) $,求关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = 3x $ 的解；
解:因为$P(x)=2x^{2}+4(2x-1)=2x^{2}+8x-4$，所以它的导出多项式$Q(x)=2×2x+8=4x+8$.因为$Q(x)=3x$，所以$4x+8=3x$，解得$x=-8$，所以关于x的方程$Q(x)=3x$的解为$x=-8$.
(3)已知 $ P(x) = ax^{2} - 3x + 2 $ 是关于 $ x $ 的二次多项式,$ Q(x) $ 为 $ P(x) $ 的导出多项式,若关于 $ x $ 的方程 $ Q(x) = -x $ 的解为正整数,求整数 $ a $ 的值.
解:因为$P(x)=ax^{2}-3x+2$，所以它的导出多项式$Q(x)=2·ax+(-3)=2ax-3$.因为$Q(x)=-x$，所以$2ax-3=-x$,即$(2a+1)x=3$.因为关于x的方程$Q(x)=-x$的解为正整数，所以$2a+1≠0$，所以$x=\frac{3}{2a+1}$，故$2a+1$的值为1或3,所以a的值为0或1.
答案：(1)$2x-4$(2)解:因为$P(x)=2x^{2}+4(2x-1)=2x^{2}+8x-4$，所以它的导出多项式$Q(x)=2×2x+8=4x+8$.因为$Q(x)=3x$，所以$4x+8=3x$，解得$x=-8$，所以关于x的方程$Q(x)=3x$的解为$x=-8$.(3)解:因为$P(x)=ax^{2}-3x+2$，所以它的导出多项式$Q(x)=2·ax+(-3)=2ax-3$.因为$Q(x)=-x$，所以$2ax-3=-x$,即$(2a+1)x=3$.因为关于x的方程$Q(x)=-x$的解为正整数，所以$2a+1≠0$，所以$x=\frac{3}{2a+1}$，故$2a+1$的值为1或3,所以a的值为0或1.
解析：
(1)$2x-4$
(2)解：$P(x)=2x^{2}+4(2x-1)=2x^{2}+8x-4$，导出多项式$Q(x)=2×2x+8=4x+8$。方程$Q(x)=3x$即$4x+8=3x$，解得$x=-8$。
(3)解：$P(x)=ax^{2}-3x+2$的导出多项式$Q(x)=2ax-3$。方程$Q(x)=-x$即$2ax-3=-x$，整理得$(2a+1)x=3$。因为解为正整数，所以$2a+1$为$3$的正因数，即$2a+1=1$或$3$。当$2a+1=1$时，$a=0$；当$2a+1=3$时，$a=1$。故整数$a$的值为$0$或$1$。
(2)解：$P(x)=2x^{2}+4(2x-1)=2x^{2}+8x-4$，导出多项式$Q(x)=2×2x+8=4x+8$。方程$Q(x)=3x$即$4x+8=3x$，解得$x=-8$。
(3)解：$P(x)=ax^{2}-3x+2$的导出多项式$Q(x)=2ax-3$。方程$Q(x)=-x$即$2ax-3=-x$，整理得$(2a+1)x=3$。因为解为正整数，所以$2a+1$为$3$的正因数，即$2a+1=1$或$3$。当$2a+1=1$时，$a=0$；当$2a+1=3$时，$a=1$。故整数$a$的值为$0$或$1$。