1.(2024春·杨浦区期中)下列各式中,是一元一次方程的是(
A.$ x = 0 $
B.$ 2x - 1 $
C.$ 2x - y = 0 $
D.$ ax = b $
A
)A.$ x = 0 $
B.$ 2x - 1 $
C.$ 2x - y = 0 $
D.$ ax = b $
答案：A
解析：
解：一元一次方程是指只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。
A选项：$x = 0$，含有一个未知数$x$，未知数次数为1，是整式方程，符合一元一次方程定义。
B选项：$2x - 1$不是等式，所以不是方程。
C选项：$2x - y = 0$含有两个未知数$x$和$y$，是二元一次方程，不是一元一次方程。
D选项：当$a = 0$时，若$b \neq 0$，方程无解；若$a = 0$且$b = 0$，方程有无数解，此时不是一元一次方程，所以该选项不一定是一元一次方程。
综上，是一元一次方程的是A选项。
答案：A
A选项：$x = 0$，含有一个未知数$x$，未知数次数为1，是整式方程，符合一元一次方程定义。
B选项：$2x - 1$不是等式，所以不是方程。
C选项：$2x - y = 0$含有两个未知数$x$和$y$，是二元一次方程，不是一元一次方程。
D选项：当$a = 0$时，若$b \neq 0$，方程无解；若$a = 0$且$b = 0$，方程有无数解，此时不是一元一次方程，所以该选项不一定是一元一次方程。
综上，是一元一次方程的是A选项。
答案：A
2.(2024秋·高邮期中)下列说法正确的是(
A.若$ a = b $,则$ am = bm $
B.若$ a ^ { 2 } = b ^ { 2 } $,则$ a = b $
C.若$ a = b $,则$ a + 2 = b + 3 $
D.若$ a = b $,则$ \frac { a } { c } = \frac { b } { c } $
A
)A.若$ a = b $,则$ am = bm $
B.若$ a ^ { 2 } = b ^ { 2 } $,则$ a = b $
C.若$ a = b $,则$ a + 2 = b + 3 $
D.若$ a = b $,则$ \frac { a } { c } = \frac { b } { c } $
答案：A
解析：
解：A. 若$a = b$，等式两边同时乘以$m$，根据等式的基本性质，等式仍然成立，即$am = bm$，该选项正确。
B. 若$a^2 = b^2$，则$a = b$或$a = -b$，例如$a = 2$，$b = -2$时，$a^2 = b^2 = 4$，但$a \neq b$，该选项错误。
C. 若$a = b$，等式两边同时加上相同的数，等式才成立，左边加$2$，右边加$3$，$2 \neq 3$，则$a + 2 \neq b + 3$，该选项错误。
D. 若$a = b$，当$c = 0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，该选项错误。
答案：A
B. 若$a^2 = b^2$，则$a = b$或$a = -b$，例如$a = 2$，$b = -2$时，$a^2 = b^2 = 4$，但$a \neq b$，该选项错误。
C. 若$a = b$，等式两边同时加上相同的数，等式才成立，左边加$2$，右边加$3$，$2 \neq 3$，则$a + 2 \neq b + 3$，该选项错误。
D. 若$a = b$，当$c = 0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，该选项错误。
答案：A
3. 已知关于 x 的方程 5x + 3k = 21 与 5x + 3 = 0 的解相同,则 k 的值是(
A.$ - 10 $
B.7
C.$ - 9 $
D.8
D
)A.$ - 10 $
B.7
C.$ - 9 $
D.8
答案：D
解析：
解：解方程$5x + 3 = 0$，得$5x=-3$，$x=-\frac{3}{5}$。
因为方程$5x + 3k = 21$与$5x + 3 = 0$的解相同，将$x=-\frac{3}{5}$代入$5x + 3k = 21$，
得$5×(-\frac{3}{5}) + 3k = 21$，即$-3 + 3k = 21$，$3k=24$，$k=8$。
答案：D
因为方程$5x + 3k = 21$与$5x + 3 = 0$的解相同，将$x=-\frac{3}{5}$代入$5x + 3k = 21$，
得$5×(-\frac{3}{5}) + 3k = 21$，即$-3 + 3k = 21$，$3k=24$，$k=8$。
答案：D
4. 解方程$ 1 - 2 ( 2x - 1 ) = x $,以下去括号正确的是(
A.$ 1 - 4x - 2 = x $
B.$ 1 - 4x + 1 = x $
C.$ 1 - 4x + 2 = x $
D.$ 1 - 4x + 2 = - x $
C
)A.$ 1 - 4x - 2 = x $
B.$ 1 - 4x + 1 = x $
C.$ 1 - 4x + 2 = x $
D.$ 1 - 4x + 2 = - x $
答案：C
解析：
解：对原方程$1 - 2(2x - 1) = x$去括号，得$1 - 4x + 2 = x$。
答案：C
答案：C
5. 解方程$ \frac { 2x + 1 } { 3 } - \frac { 10x + 1 } { 6 } = 1 $时,去分母正确的是(
A.$ 2x + 1 - ( 10x + 1 ) = 1 $
B.$ 4x + 1 - 10x + 1 = 6 $
C.$ 4x + 2 - 10x - 1 = 6 $
D.$ 2 ( 2x + 1 ) - ( 10x + 1 ) = 1 $
C
)A.$ 2x + 1 - ( 10x + 1 ) = 1 $
B.$ 4x + 1 - 10x + 1 = 6 $
C.$ 4x + 2 - 10x - 1 = 6 $
D.$ 2 ( 2x + 1 ) - ( 10x + 1 ) = 1 $
答案：C
解析：
解：方程两边同乘6，得
2(2x+1)-(10x+1)=6
去括号，得
4x+2-10x-1=6
故选C。
2(2x+1)-(10x+1)=6
去括号，得
4x+2-10x-1=6
故选C。
6. 定义“※”的运算：$ a※b = ab + 2a $。若$ ( 3※x ) + ( x※3 ) = 14 $,则$ x $等于(
A.1
B.2
C.$ - 1 $
D.$ - 2 $
A
)A.1
B.2
C.$ - 1 $
D.$ - 2 $
答案：A
解析：
解：因为 $a※b = ab + 2a$，所以
$3※x = 3x + 2×3 = 3x + 6$，
$x※3 = x×3 + 2x = 3x + 2x = 5x$。
则 $(3※x) + (x※3) = (3x + 6) + 5x = 8x + 6$。
已知 $(3※x) + (x※3) = 14$，
所以 $8x + 6 = 14$，
$8x = 14 - 6$，
$8x = 8$，
$x = 1$。
A
$3※x = 3x + 2×3 = 3x + 6$，
$x※3 = x×3 + 2x = 3x + 2x = 5x$。
则 $(3※x) + (x※3) = (3x + 6) + 5x = 8x + 6$。
已知 $(3※x) + (x※3) = 14$，
所以 $8x + 6 = 14$，
$8x = 14 - 6$，
$8x = 8$，
$x = 1$。
A
7.(2024春·长宁区期中)小杰妈妈去银行存款,银行一年定期储蓄的年利率是$ 1.5\% $,小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元。设她存入银行的本金为$ x $元,那么下列方程中,正确的是(
A.$ 1.5\% × 2x = 61800 $
B.$ x + 1.5\% × 2x = 61800 $
C.$ ( 1 + 1.5\% ) × 2x = 61800 $
D.$ 2 ( 1 + 1.5\% x ) = 61800 $
B
)A.$ 1.5\% × 2x = 61800 $
B.$ x + 1.5\% × 2x = 61800 $
C.$ ( 1 + 1.5\% ) × 2x = 61800 $
D.$ 2 ( 1 + 1.5\% x ) = 61800 $
答案：B
解析：
解：本金为$x$元，年利率$1.5\%$，存两年，利息为$1.5\% × 2x$元。
本利和=本金+利息，即$x + 1.5\% × 2x$。
已知两年后本利和共$61800$元，所以方程为$x + 1.5\% × 2x = 61800$。
答案：B
本利和=本金+利息，即$x + 1.5\% × 2x$。
已知两年后本利和共$61800$元，所以方程为$x + 1.5\% × 2x = 61800$。
答案：B
8. 如图,小刚将一张正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条。若两次剪下的长条面积正好相等,则剪下的两个长条的面积之和为(
A.$ 215cm ^ { 2 } $
B.$ 250cm ^ { 2 } $
C.$ 300cm ^ { 2 } $
D.$ 320cm ^ { 2 } $
C
)A.$ 215cm ^ { 2 } $
B.$ 250cm ^ { 2 } $
C.$ 300cm ^ { 2 } $
D.$ 320cm ^ { 2 } $
答案：C
解析：
解：设正方形纸片的边长为 $ x \, \text{cm} $。
第一次剪下长条的面积为 $ 5x \, \text{cm}^2 $。
剩下长方形的长为 $ x \, \text{cm} $，宽为 $ (x - 5) \, \text{cm} $，第二次剪下长条的面积为 $ 6(x - 5) \, \text{cm}^2 $。
由题意得：$ 5x = 6(x - 5) $
解得：$ x = 30 $
两个长条的面积之和为 $ 2 × 5x = 10x = 10 × 30 = 300 \, \text{cm}^2 $
答案：C
第一次剪下长条的面积为 $ 5x \, \text{cm}^2 $。
剩下长方形的长为 $ x \, \text{cm} $，宽为 $ (x - 5) \, \text{cm} $，第二次剪下长条的面积为 $ 6(x - 5) \, \text{cm}^2 $。
由题意得：$ 5x = 6(x - 5) $
解得：$ x = 30 $
两个长条的面积之和为 $ 2 × 5x = 10x = 10 × 30 = 300 \, \text{cm}^2 $
答案：C
9. 学校组织知识竞赛,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答。下表记录了3个参赛者的得分情况,则参赛者F的得分可能为(
|参赛者|答对题数|答错题数|得分|
|A|20|0|100|
|C|18|2|88|
|E|10|10|40|
A.58
B.62
C.78
D.93
A
)|参赛者|答对题数|答错题数|得分|
|A|20|0|100|
|C|18|2|88|
|E|10|10|40|
A.58
B.62
C.78
D.93
答案：A
解析：
解：设答对一题得$x$分，答错一题得$y$分。
由参赛者A：$20x + 0y = 100$，解得$x = 5$。
由参赛者C：$18×5 + 2y = 88$，$90 + 2y = 88$，$2y = -2$，解得$y = -1$。
设参赛者F答对$m$题，答错$(20 - m)$题，得分$5m - 1×(20 - m) = 6m - 20$。
$m$为整数且$0 \leq m \leq 20$，得分$6m - 20$。
A. $6m - 20 = 58$，$6m = 78$，$m = 13$（符合）。
B. $6m - 20 = 62$，$6m = 82$，$m = \frac{41}{3}$（不符）。
C. $6m - 20 = 78$，$6m = 98$，$m = \frac{49}{3}$（不符）。
D. $6m - 20 = 93$，$6m = 113$，$m = \frac{113}{6}$（不符）。
答案：A
由参赛者A：$20x + 0y = 100$，解得$x = 5$。
由参赛者C：$18×5 + 2y = 88$，$90 + 2y = 88$，$2y = -2$，解得$y = -1$。
设参赛者F答对$m$题，答错$(20 - m)$题，得分$5m - 1×(20 - m) = 6m - 20$。
$m$为整数且$0 \leq m \leq 20$，得分$6m - 20$。
A. $6m - 20 = 58$，$6m = 78$，$m = 13$（符合）。
B. $6m - 20 = 62$，$6m = 82$，$m = \frac{41}{3}$（不符）。
C. $6m - 20 = 78$，$6m = 98$，$m = \frac{49}{3}$（不符）。
D. $6m - 20 = 93$，$6m = 113$，$m = \frac{113}{6}$（不符）。
答案：A