7. 如图,点B,C,D在线段AE上,若$AE = 12cm$,$BD= \frac{1}{3}AE$,则图中所有线段长度之和为(
A.$50cm$
B.$52cm$
C.$54cm$
D.$56cm$
D
)A.$50cm$
B.$52cm$
C.$54cm$
D.$56cm$
答案：D
解析：
解：
∵ $ AE = 12\,\text{cm} $, $ BD = \frac{1}{3}AE $,
∴ $ BD = \frac{1}{3} × 12 = 4\,\text{cm} $.
图中线段有：$ AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE $.
所有线段之和为：
$ AB + AC + AD + AE + BC + BD + BE + CD + CE + DE $.
整理得：
$ AB + (AB + BC) + (AB + BC + CD) + AE + BC + BD + (BD + DE) + CD + (CD + DE) + DE $
$ = 3AB + 3BC + 3CD + 3DE + AE + BD $
$ = 3(AB + BC + CD + DE) + AE + BD $.
∵ $ AB + BC + CD + DE = AE = 12\,\text{cm} $,
∴ 原式 $ = 3 × 12 + 12 + 4 = 36 + 12 + 4 = 52\,\text{cm} $.
答案：B
∵ $ AE = 12\,\text{cm} $, $ BD = \frac{1}{3}AE $,
∴ $ BD = \frac{1}{3} × 12 = 4\,\text{cm} $.
图中线段有：$ AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE $.
所有线段之和为：
$ AB + AC + AD + AE + BC + BD + BE + CD + CE + DE $.
整理得：
$ AB + (AB + BC) + (AB + BC + CD) + AE + BC + BD + (BD + DE) + CD + (CD + DE) + DE $
$ = 3AB + 3BC + 3CD + 3DE + AE + BD $
$ = 3(AB + BC + CD + DE) + AE + BD $.
∵ $ AB + BC + CD + DE = AE = 12\,\text{cm} $,
∴ 原式 $ = 3 × 12 + 12 + 4 = 36 + 12 + 4 = 52\,\text{cm} $.
答案：B
8. 如果$\angle \alpha和\angle \beta$互补,且$\angle \alpha＞\angle \beta$,则下列表示$\angle \beta$的余角的式子中：①$90^{\circ}-\angle \beta$；②$\angle \alpha - 90^{\circ}$；③$180^{\circ}-\angle \alpha$；④$\frac{1}{2}(\angle \alpha-\angle \beta)$,正确的是(
A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②
B
)A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②
答案：B
解析：
解：因为∠α和∠β互补，所以∠α + ∠β = 180°，∠α＞∠β。
①∠β的余角为90° - ∠β，正确。
②因为∠α = 180° - ∠β，所以∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，正确。
③180° - ∠α = ∠β，不是∠β的余角，错误。
④因为∠α - ∠β = 180° - 2∠β，所以$\frac{1}{2}(\angle \alpha - \angle \beta)=\frac{1}{2}(180° - 2∠β)=90° - ∠β$，正确。
综上，正确的是①②④。
答案：B
①∠β的余角为90° - ∠β，正确。
②因为∠α = 180° - ∠β，所以∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，正确。
③180° - ∠α = ∠β，不是∠β的余角，错误。
④因为∠α - ∠β = 180° - 2∠β，所以$\frac{1}{2}(\angle \alpha - \angle \beta)=\frac{1}{2}(180° - 2∠β)=90° - ∠β$，正确。
综上，正确的是①②④。
答案：B
9. 已知点C在直线AB上,若$AC = 4cm$,$BC = 6cm$,E,F分别为线段AC,BC的中点,则EF的长为(
A.$5cm$
B.$3cm$
C.$5cm或3cm$
D.$5cm或1cm$
D
)A.$5cm$
B.$3cm$
C.$5cm或3cm$
D.$5cm或1cm$
答案：D
解析：
解：
情况一：点C在线段AB上
∵E为AC中点，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F为BC中点，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=EC+CF=2+3=5cm
情况二：点C在线段AB延长线上
∵E为AC中点，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F为BC中点，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=CF-EC=3-2=1cm
综上，EF的长为5cm或1cm。
答案：D
情况一：点C在线段AB上
∵E为AC中点，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F为BC中点，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=EC+CF=2+3=5cm
情况二：点C在线段AB延长线上
∵E为AC中点，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F为BC中点，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=CF-EC=3-2=1cm
综上，EF的长为5cm或1cm。
答案：D
10. 将一张纸如图所示折叠后压平,点F在线段BC上,EF,GF为两条折痕,若$\angle B^{\prime}FC^{\prime}=\alpha$,则$\angle EFG$的度数是(
A.$45^{\circ}+\alpha$
B.$2\alpha - 90^{\circ}$
C.$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
D.$90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$
C
)A.$45^{\circ}+\alpha$
B.$2\alpha - 90^{\circ}$
C.$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
D.$90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$
答案：C
解析：
解：设∠EFB=∠EFB'=x，∠GFC=∠GFC'=y。
由折叠性质得：∠BFC=180°，∠B'FC'=α。
则∠BFB' + ∠CFC' = ∠BFC - ∠B'FC' = 180° - α。
又∠BFB'=2x，∠CFC'=2y，
∴2x + 2y = 180° - α ⇒ x + y = 90° - α/2。
∠EFG = x + y = 90° - α/2。
答案：C
由折叠性质得：∠BFC=180°，∠B'FC'=α。
则∠BFB' + ∠CFC' = ∠BFC - ∠B'FC' = 180° - α。
又∠BFB'=2x，∠CFC'=2y，
∴2x + 2y = 180° - α ⇒ x + y = 90° - α/2。
∠EFG = x + y = 90° - α/2。
答案：C
11. $137^{\circ}45^{\prime}$的补角是
42°15′
.答案：42°15′
解析：
解：因为互为补角的两个角之和为$180^{\circ}$，所以$137^{\circ}45^{\prime}$的补角为$180^{\circ} - 137^{\circ}45^{\prime}$。
$180^{\circ} = 179^{\circ}60^{\prime}$，则$179^{\circ}60^{\prime} - 137^{\circ}45^{\prime} = (179^{\circ} - 137^{\circ}) + (60^{\prime} - 45^{\prime}) = 42^{\circ}15^{\prime}$。
42°15′
$180^{\circ} = 179^{\circ}60^{\prime}$，则$179^{\circ}60^{\prime} - 137^{\circ}45^{\prime} = (179^{\circ} - 137^{\circ}) + (60^{\prime} - 45^{\prime}) = 42^{\circ}15^{\prime}$。
42°15′
12. 子弹从枪膛中射出去的轨迹可看成一条线,这说明了
点动成线
的数学道理.答案：点动成线
13. 小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶(如图),他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是
两点之间线段最短
.答案：两点之间线段最短
14. 点C在射线AB上,若$AB = 3$,$BC = 2$,则AC的长度为
1或5
.答案：1或5
解析：
解：当点C在点B右侧时，AC=AB+BC=3+2=5；
当点C在点A、B之间时，AC=AB-BC=3-2=1。
故AC的长度为1或5。
当点C在点A、B之间时，AC=AB-BC=3-2=1。
故AC的长度为1或5。
15. 若两个角互补,且度数之比为$3:2$,则较大角的度数为
108°
.答案：108°
解析：
解：设两个角的度数分别为$3x$和$2x$。
因为两角互补，所以$3x + 2x = 180^\circ$，
解得$5x = 180^\circ$，$x = 36^\circ$。
较大角的度数为$3x = 3 × 36^\circ = 108^\circ$。
108°
因为两角互补，所以$3x + 2x = 180^\circ$，
解得$5x = 180^\circ$，$x = 36^\circ$。
较大角的度数为$3x = 3 × 36^\circ = 108^\circ$。
108°
16. 如图,射线OA表示的方向是北偏东$28^{\circ}$,射线OB表示的方向是
南偏东62°或东偏南28°
.答案：南偏东62°或东偏南28°
17. 在同一平面内,$\angle AOB = 30^{\circ}$,射线OC在$\angle AOB$的外部,OD平分$\angle AOC$,若$\angle BOD = 40^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为
140°或20°
.答案：140°或20°
解析：
解：分两种情况：
情况一：射线OC在∠AOB的外侧且靠近OB。
设∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30° + 40° = 70°，
即x = 70°，
∴∠AOC = 2x = 140°。
情况二：射线OC在∠AOB的外侧且靠近OA。
设∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠BOD - ∠AOB = 40° - 30° = 10°，
即x = 10°，
∴∠AOC = 2x = 20°。
综上，∠AOC的度数为140°或20°。
情况一：射线OC在∠AOB的外侧且靠近OB。
设∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30° + 40° = 70°，
即x = 70°，
∴∠AOC = 2x = 140°。
情况二：射线OC在∠AOB的外侧且靠近OA。
设∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠BOD - ∠AOB = 40° - 30° = 10°，
即x = 10°，
∴∠AOC = 2x = 20°。
综上，∠AOC的度数为140°或20°。
18. 定义：在直线l上的三点A,B,C,若满足$\frac{CA}{CB}= \frac{1}{2}$,则称点C是点A关于点B的“半距点”.如图,若M,N,P三点在同一直线m上,且点P是点M关于点N的“半距点”,$MN = 6cm$,则$PM=$
2或6
cm.答案：2或6
解析：
设点$P$对应的数为$x$，以直线$m$为数轴，设点$M$对应的数为$0$，则点$N$对应的数为$6$。
情况一：点$P$在点$M$、$N$之间
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = 2$，即$PM = 2$。
情况二：点$P$在点$M$左侧
$CA = PM = 0 - x = -x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{-x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$，即$PM = 6$。
情况三：点$P$在点$N$右侧
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = x - 6$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{x - 6} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$（与点$N$右侧矛盾，舍去）。
综上，$PM = 2$或$6$。
答案：$2$或$6$
情况一：点$P$在点$M$、$N$之间
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = 2$，即$PM = 2$。
情况二：点$P$在点$M$左侧
$CA = PM = 0 - x = -x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{-x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$，即$PM = 6$。
情况三：点$P$在点$N$右侧
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = x - 6$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{x - 6} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$（与点$N$右侧矛盾，舍去）。
综上，$PM = 2$或$6$。
答案：$2$或$6$