11. (12分)计算:
(1)$1\frac{1}{2}×[3×(-\frac{2}{3})^{2} - 1] + \frac{1}{2^{4}}÷(-\frac{1}{2})^{3}$; (2)$5a^{2} - 2a - 3ab + b^{2} - (5a^{2} - 3ab)$.
(1)$1\frac{1}{2}×[3×(-\frac{2}{3})^{2} - 1] + \frac{1}{2^{4}}÷(-\frac{1}{2})^{3}$; (2)$5a^{2} - 2a - 3ab + b^{2} - (5a^{2} - 3ab)$.
答案：(1)原式=$\frac {3}{2}×(3×\frac {4}{9}-1)+\frac {1}{2^{4}}×(-2^{3})=\frac {3}{2}×\frac {1}{3}-\frac {1}{2}=0.$
(2)原式$=5a^{2}-2a-3ab+b^{2}-5a^{2}+3ab=-2a+b^{2}.$
(2)原式$=5a^{2}-2a-3ab+b^{2}-5a^{2}+3ab=-2a+b^{2}.$
12. (10分)如图,$C,D是线段AB$上的两点,$D是线段AC$的中点,若$BC = 2,\frac{AD}{BD} = \frac{2}{3}$,求线段$AB$的长.
答案：解:$\because \frac {AD}{BD}=\frac {2}{3},\therefore $设$AD=2x,BD=3x.$
∵D是线段AC的中点,$\therefore AC=2AD=4x.$
$\because BC=AB-AC=2,$
$\therefore 2x+3x-4x=2$,解得$x=2,$
$\therefore AB=5x=10.$
∵D是线段AC的中点,$\therefore AC=2AD=4x.$
$\because BC=AB-AC=2,$
$\therefore 2x+3x-4x=2$,解得$x=2,$
$\therefore AB=5x=10.$
13. (12分)若干名户外旅行者去住民宿,如果每间客房住6人,那么有6人无房可住;如果每间客房住8人,那么就恰好空出1间客房.
(1)求该民宿有客房多少间,户外旅行者有多少人;
(2)假设对民宿进行改造后,房间数大大增加,现每间客房收200元,且每间客房最多入住5人,一次性订房12间及以上(含12间),房价按8折优惠.若这些户外旅行者再次一起入住,他们如何订房较合算?
(1)求该民宿有客房多少间,户外旅行者有多少人;
(2)假设对民宿进行改造后,房间数大大增加,现每间客房收200元,且每间客房最多入住5人,一次性订房12间及以上(含12间),房价按8折优惠.若这些户外旅行者再次一起入住,他们如何订房较合算?
答案：(1)设该民宿有客房x间,
根据题意,得$8(x-1)=6x+6$,解得$x=7,$
则$6x+6=6×7+6=48.$
答:该民宿有客房7间,户外旅行者有48人.
(2)若每间客房住5人,则48名户外旅行者至少需客房10间,需付费$200×10=2000$(元).
若一次性订客房12间,则需付费$200×12×0.8=1920$(元)$＜2000$(元).
答:这些户外旅行者再次一起入住,他们选择一次性订客房12间较合算.
根据题意,得$8(x-1)=6x+6$,解得$x=7,$
则$6x+6=6×7+6=48.$
答:该民宿有客房7间,户外旅行者有48人.
(2)若每间客房住5人,则48名户外旅行者至少需客房10间,需付费$200×10=2000$(元).
若一次性订客房12间,则需付费$200×12×0.8=1920$(元)$＜2000$(元).
答:这些户外旅行者再次一起入住,他们选择一次性订客房12间较合算.
14. (16分)$O是直线AB$上一点,$∠COD$是直角,$OE平分∠BOC$.
(1)如图①,若$∠AOC = 30^{\circ}$,则$∠DOE$的度数为______
(2)将图①中的$∠COD绕顶点O$顺时针旋转至图②的位置,其他条件不变,探究$∠AOC和∠DOE$度数之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由;
(3)将图①中的$∠COD绕顶点O$逆时针旋转至图③的位置,其他条件不变,探究$∠AOC和∠DOE$度数之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由;
(1)如图①,若$∠AOC = 30^{\circ}$,则$∠DOE$的度数为______
15°
;(2)将图①中的$∠COD绕顶点O$顺时针旋转至图②的位置,其他条件不变,探究$∠AOC和∠DOE$度数之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由;
解:$∠AOC=2∠DOE$.理由如下:
∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
$\therefore ∠COE=∠BOE=90^{\circ }-∠DOE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(90^{\circ }-∠DOE)=2∠DOE.$
∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
$\therefore ∠COE=∠BOE=90^{\circ }-∠DOE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(90^{\circ }-∠DOE)=2∠DOE.$
(3)将图①中的$∠COD绕顶点O$逆时针旋转至图③的位置,其他条件不变,探究$∠AOC和∠DOE$度数之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由;
解:$∠AOC=360^{\circ }-2∠DOE$.理由如下:
∵OE平分∠BOC,
$\therefore ∠BOE=∠COE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(∠DOE-90^{\circ })=360^{\circ }-2∠DOE.$
∵OE平分∠BOC,
$\therefore ∠BOE=∠COE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(∠DOE-90^{\circ })=360^{\circ }-2∠DOE.$
答案：(1)$15^{\circ }$
(2)解:$∠AOC=2∠DOE$.理由如下:
∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
$\therefore ∠COE=∠BOE=90^{\circ }-∠DOE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(90^{\circ }-∠DOE)=2∠DOE.$
(3)解:$∠AOC=360^{\circ }-2∠DOE$.理由如下:
∵OE平分∠BOC,
$\therefore ∠BOE=∠COE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(∠DOE-90^{\circ })=360^{\circ }-2∠DOE.$
(2)解:$∠AOC=2∠DOE$.理由如下:
∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
$\therefore ∠COE=∠BOE=90^{\circ }-∠DOE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(90^{\circ }-∠DOE)=2∠DOE.$
(3)解:$∠AOC=360^{\circ }-2∠DOE$.理由如下:
∵OE平分∠BOC,
$\therefore ∠BOE=∠COE,$
$\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=180^{\circ }-2∠COE=180^{\circ }-2(∠DOE-90^{\circ })=360^{\circ }-2∠DOE.$