1. 阅读下面材料：
计算 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$。
观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的 5 倍,如果将上式各项都乘 5,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减,易于计算。
解：设 $S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$,①
则 $5S = 5 + 5^{2} + … + 5^{100} + 5^{101}$,②
② - ①得 $4S = 5^{101} - 1$,则 $S = \frac{5^{101} - 1}{4}$。
上面的计算方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于 5),那么这列数的求和问题,均可用错位相减法来解决。
下面请你观察算式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + … + \frac{1}{2^{2000}}$ 是否具备上述规律？若是,请你尝试用错位相减法计算。
计算 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$。
观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的 5 倍,如果将上式各项都乘 5,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减,易于计算。
解：设 $S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$,①
则 $5S = 5 + 5^{2} + … + 5^{100} + 5^{101}$,②
② - ①得 $4S = 5^{101} - 1$,则 $S = \frac{5^{101} - 1}{4}$。
上面的计算方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于 5),那么这列数的求和问题,均可用错位相减法来解决。
下面请你观察算式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + … + \frac{1}{2^{2000}}$ 是否具备上述规律？若是,请你尝试用错位相减法计算。
答案：解:此式具备上述规律.
设$ S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2000}} $,①
则$ \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2001}} $,②
①-②得$ \frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}} $,
解得$ S=2-\frac{1}{2^{2000}} $.
设$ S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2000}} $,①
则$ \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2001}} $,②
①-②得$ \frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}} $,
解得$ S=2-\frac{1}{2^{2000}} $.
2. 阅读材料：
求值：$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$。
解：设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$①,将等式两边同时乘 2 得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} + 2^{21}$②,
② - ①,得 $S = 2^{21} - 1$,
即 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} = 2^{21} - 1$。
请你仿照此法计算：
(1)$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{100}$；
(2)$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{n}$。($n$ 为正整数)
求值：$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$。
解：设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$①,将等式两边同时乘 2 得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} + 2^{21}$②,
② - ①,得 $S = 2^{21} - 1$,
即 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} = 2^{21} - 1$。
请你仿照此法计算：
(1)$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{100}$；
(2)$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{n}$。($n$ 为正整数)
答案：解:(1)设$ S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100} $,①
将等式两边同时乘2,
得$ 2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{101} $,②
②-①,得$ S=2^{101}-1 $,
即$ S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}=2^{101}-1 $.
(2)设$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n} $,①
将等式两边同时乘3,得
$ 3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+\cdots+3^{n+1} $,②
②-①,得$ 3S-S=3^{n+1}-1 $,
即$ 2S=3^{n+1}-1 $,
故$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2} $.
将等式两边同时乘2,
得$ 2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{101} $,②
②-①,得$ S=2^{101}-1 $,
即$ S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}=2^{101}-1 $.
(2)设$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n} $,①
将等式两边同时乘3,得
$ 3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+\cdots+3^{n+1} $,②
②-①,得$ 3S-S=3^{n+1}-1 $,
即$ 2S=3^{n+1}-1 $,
故$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2} $.