1. 在数学活动中,小明遇到了求式子$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值的问题. 他和同伴讨论设计了如图所示的几何图形来求式子的值. 已知图中大正方形的面积为1,每一个小图形中的数字表示这个小图形的面积.
(1)图中阴影部分的面积为____
(2)利用图形求$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{2^{4}}+\frac {1}{2^{5}}$的值;
(3)直接写出$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值. (结果用含n的式子表示)
(1)图中阴影部分的面积为____
$\frac{1}{2^{5}}$
; (用乘方的形式表示)(2)利用图形求$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{2^{4}}+\frac {1}{2^{5}}$的值;
解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{5}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{2^{5}}=\frac{31}{32}$.
(3)直接写出$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值. (结果用含n的式子表示)
解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
答案：1.(1)$\frac{1}{2^{5}}$ 点拨:由所给图形可知，图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2^{4}}$的一半，所以图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{2^{5}}$.
(2)解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{5}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{2^{5}}=\frac{31}{32}$.
(3)解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
(2)解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{5}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{2^{5}}=\frac{31}{32}$.
(3)解:由所给图形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
2. 如图,用火柴棒按图中的方式搭图形.
按上述信息填空:
(1)$a=$
(2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形需要火柴棒的根数为
(3)按照这种方式搭下去,用(2)中的代数式求搭第2025个图形需要火柴棒的根数.
按上述信息填空:
(1)$a=$
21
,$b=$26
;(2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形需要火柴棒的根数为
5n+1
; (用含n的代数式表示)(3)按照这种方式搭下去,用(2)中的代数式求搭第2025个图形需要火柴棒的根数.
解:当n=2025时,5n+1=5×2025+1=10126.所以搭第2025个图形需要火柴棒的根数为10126.
答案：2.(1)21 26 点拨:(1)搭第1个图形需要火柴棒的根数为$6=1×5+1$；搭第2个图形需要火柴棒的根数为$11=2×5+1$；搭第3个图形需要火柴棒的根数为$16=3×5+1$；……所以搭第n个图形需要火柴棒的根数为$n×5+1=5n+1$.当$n=4$时,$a=5×4+1=21$；当$n=5$时,$b=5×5+1=26$.
(2)$5n+1$ 点拨:由(1)知,搭第n个图形需要火柴棒的根数为$(5n+1)$.
(3)解:当$n=2025$时,$5n+1=10126$.所以搭第2025个图形需要火柴棒的根数为10126.
(2)$5n+1$ 点拨:由(1)知,搭第n个图形需要火柴棒的根数为$(5n+1)$.
(3)解:当$n=2025$时,$5n+1=10126$.所以搭第2025个图形需要火柴棒的根数为10126.